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Bestimmen Sie die Menge der Komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: kartesische koordinaten, Komplexe Zahlen, mengen, Polardarstellung

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20:54 Uhr, 28.07.2015

Hallo,
meine Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge aller

z

Element Komplex mit,

z^{4} + 4 = 0

und Im

z < 0

.
Mir fehlt irgendwie komplett der Ansatz, ich hab keine Idee, wie ich hier vorgehen würde...
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

21:09 Uhr, 28.07.2015

z . B

. so

z^{4} = - 4 = 4 \cdot e^{i \cdot π}

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21:20 Uhr, 28.07.2015

Wie genau bist du jetzt auf diesen Ausdruck gekommen? :-D)

Respon

21:26 Uhr, 28.07.2015

- 4 = - 4 + 0 \cdot i

Betrag 4
Argument

(φ) π

\Rightarrow - 4 = 4 \cdot e^{i \cdot π}

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21:26 Uhr, 28.07.2015

z 4 + 4 = 0

z 4 = - 4

Winkel π

| z 4 | = 4

√4 = √2

Respon

21:30 Uhr, 28.07.2015

z^{4} = 4 \cdot e^{i \cdot π} = 4 \cdot e^{i \cdot (π + 2 \cdot k \cdot π)}

( da periodisch )

z = \sqrt[4]{4} \cdot e^{i \cdot \frac{π + 2 \cdot k \cdot π}{4}}

mit

k = 0,1,2,3

Also

z_{1} = . .

z_{2} = . .

z_{3} = . .

z_{4} = . .

.
Nur zwei Ergebnisse haben einen Imaginärteil

< 0

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21:41 Uhr, 28.07.2015

okok, also ähm das geht mir grade zu schnell, tut mir Leid, ich häng ein wenig hinterher also,
wir haben jetzt

z^{4} = - 4

wegen

z^{4} + 4 = 0

ok, das ist einleuchtend :-D)
wie genau bist du/ihr auf

| z |

gekommen?
also mir ist geläufig, dass

| z | =

Wurzel(x^2+y^2) oder nicht?

Respon

21:55 Uhr, 28.07.2015

Eine komplexe Zahl wird allgemein so geschrieben

a + i \cdot b

a, b

sind reelle Zahlen, a ist der Realteil,

b

ist der Imaginärteil
Polarkoordinaten
Betrag

| a + i \cdot b | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Argument

φ

tan (φ) = \frac{b}{a} \Rightarrow φ = {tan}^{- 1} (\frac{b}{a})

- 4 = - 4 + 0 \cdot i

Also ist unser

a = - 4

und unser

b = 0

\Rightarrow

Betrag

\sqrt{{(- 4)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{16} = 4

tan (φ) = \frac{0}{- 4} \Rightarrow φ = π

(siehe Lage in der Gaussebene)
Exponentialdarstellung daher ( siehe Eulersche Formel )

- 4 = 4 \cdot e^{i \cdot π}

Für das Radizieren verwende den Satz von Moivre.

Angrod aktiv_icon

22:03 Uhr, 28.07.2015

Meinen Sie mich?

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22:09 Uhr, 28.07.2015

ok, vielen dank für die nette, ausfürhliche Erklärung, ist nun alles nachvollziehbar,
was genau ist mit Radizieren gemeint?

Respon

22:10 Uhr, 28.07.2015

Radizieren

\equiv

Wurzelziehen

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22:14 Uhr, 28.07.2015

ich befürchte, an dieser Stelle benötige ich nochmals erklärungsbedarf

Respon

22:18 Uhr, 28.07.2015

Formal sieht es vorerst so aus:

z^{4} + 4 = 0

z^{4} = - 4

z = \sqrt[4]{- 4}

Wir müssen also die Lösungen von

\sqrt[4]{- 4}

finden. In

ℂ

gibt es 4 Lösungen.
Rechenweg siehe weiter oben.
( Bezüglich Eulerformel und Moivre siehe in deinen Unterlagen nach )

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22:33 Uhr, 28.07.2015

also erhalten wir:

z 1 = \sqrt{2} \cdot cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4})

z 2 = \sqrt{2} \cdot cos (3 \frac{π}{4}) + i \cdot sin (3 \frac{π}{4})

z 3 = \sqrt{2} \cdot cos (5 \frac{π}{4}) + i \cdot sin (5 \frac{π}{4})

z 4 = \sqrt{2} \cdot cos (7 \frac{π}{4}) + i \cdot sin (7 \frac{π}{4})

Respon

22:38 Uhr, 28.07.2015

Fast richtig. Die Winkelfunktionen gehören in eine Klammer, also

. .

z_{1} = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4}))

. .

.
Es handelt sich ja um bekannte Winkel,

cos

und sin lassen sich leicht berechnen.
Wir brauchen dann die Lösungen mit negativem Imaginärteil.

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22:51 Uhr, 28.07.2015

also für

z 1 = 1 + i

z 2 = - 1 - i

für den Rest gibt meine Tabelle nix mehr her, aber ich weiß, dass man sich das irgendwie herleiten kann aber ich weiß leider nicht wie :-P)
und da ich das in der Klausur ohne Taschenrechner arbeiten muss, erbitte ich mir nochmals diene Hilfe... langsam wirds echt peinlich

Respon

23:01 Uhr, 28.07.2015

z_{3} = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{5 \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{4})) = \sqrt{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})) = - 1 - i

usw.

Respon

23:15 Uhr, 28.07.2015

Für Winkel in

[0; π]

sollte man die jeweiligen

cos -

und

sin -

Werte kennen.
Für Winkel

> π

verwendet man die Identitäten

sin (α) = - sin (α - π)

cos (α) = - cos (α - π)

Respon

23:27 Uhr, 28.07.2015

Quoniam impletum est tempus in quo dormiat.

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23:35 Uhr, 28.07.2015

dankeschön Respon, hast mich gerettet, hehe
Ich hatte zwar Latein, aber leider keine Ahnung, was du da sagst, liegt schon ne weile zurück :-D)
und danke nochmal! Gute nacht :-)

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