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Ableiten einer Matrizengleichung

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizengleichung, Matrizenrechnung

Luden aktiv_icon

13:24 Uhr, 31.08.2013

Hi

Ich hab da ne Frage zu einer Aufgabe. Ich habe das Gefühl, dass ich der Lösung sehr nahe bin, aber irgendwie komm ich doch nicht weiter.

Bestimmen Sie die Minimalstellen und den minimalen Wert der quadratischen Funktion

Q : R^{4} \Rightarrow R

mit

Q (x) := - 12 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 16 \cdot x_{3} + 8 \cdot x_{4} + x^{T} \cdot A \cdot x

Dabei soll nun

A = (\begin{matrix} 4 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{matrix})

sein.

Ausmultiplizieren ist zwecklos, da es zuviele Mischterme gibt. Deshalb habe ich mir überlegt, den ersten Teil auch in eine Matrix umzuformen.

Also soll

- 12 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 16 \cdot x_{3} + 8 \cdot x_{4} = B \cdot x

mit

B = (\begin{matrix} - 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{matrix}) \cdot x

sein.

Also heisst die Gleichung nun neu

Q (x) := B \cdot x + x^{T} \cdot A \cdot x

und das soll minimal sein.

Das einzige was mir nun aber einfällt wäre gleich Null setzen und umformen.

0 = B \cdot x + x^{T} \cdot A \cdot x

Nun habe ich aber das Problem, dass

B \cdot x

einen Vektor ergibt und

x^{T} \cdot A \cdot x

eine Summe. Somit kann ich nicht ausklammern und auch

x

nicht auf die andere Seite nehmen, da der Vektor nicht invertierbar ist.

Wie kann ich das nun berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

18:49 Uhr, 31.08.2013

Ich kenne mich da auch nicht aus, aber eine Anmerkung vielleicht:

Würde es helfen, wenn

B = (- 12, 6, - 16, 8)

ist? Also eine 1x4-Matrix.
Dann wäre Bx auch eine Summe.

(Leider weiss ich nicht, wie man hier eine 1x4-Matrix darstellt.)

Luden aktiv_icon

19:12 Uhr, 31.08.2013

Das stimmt natürlich, daran hab ich gar nicht gedacht. Nun scheint es aber doch nicht wirklich zu helfen. Denn auch wenn man danach mit

B = (- 12, 6, - 16, 8)

arbeitet und allenfalls

min = (B + x^{T} \cdot A) \cdot x

rechnet kann man nicht wirklich etwas vereinfachen und erhält dann sowas wie:

min = (4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 12, 6 - 2 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2}, - 16 - 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} + 2 \cdot x_{4}, 2 \cdot x_{3} + 4 \cdot x_{4} + 8) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix})

Aber irgendwie macht mich das nicht glücklich, da es wieder auf ein Ausmultiplizeren hinausläuft. Ausser ich setze einfach

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

aber es ist ja nicht gesagt, dass dies das Minimum ist.

Hmmm...

pwmeyer aktiv_icon

09:41 Uhr, 01.09.2013

Hallo,

es gibt 2 Möglichkeiten:

- Ihr macht gerade Differentialrechnung, dann wäre also

Q' (x) = 0

zu lösen.

- Ihr macht gerade Lineare Algebra, dann wäre die Form

Q

auf "Mittelpunktsform" (oder so ähnlich) zu bringen,

d . h

. durch Transformation

x = y + h

mit einem geeigneten

h

müsste man eine quadratische Form

P

erhalten, die keine linearen Terme enthält.

Auf jeden Fall wäre dann zu klären, ob die Matrix A positiv definit ist.

Gruß pwm

Luden aktiv_icon

13:19 Uhr, 01.09.2013

Natürlich, darauf hätte ich kommen müssen.

Nun aber eine Frage. Wenn ich diese Gleichung nach einem Vektor ableiten will, sieht es dann so aus:

Q (x) := B \cdot x + x^{T} \cdot A \cdot x = (B + x^{T} \cdot A) \cdot x

und somit

Q' (x) := (B + x^{T} \cdot A) \cdot x'

Dabei wäre nun aber

x' = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

folglich:

0 = B \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + x^{T} \cdot A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und das löse ich dann nach auf?

Es fällt mir gerade noch auf, dass A und

B

symmetrisch sind. Da gibt es noch dieses Gesetz:

Für symmetrisches A gilt
(∂x′Ax)/∂x

= 2 \cdot A \cdot x = 2 \cdot A' \cdot x

Aber das scheint nicht zu helfen oder?

pwmeyer aktiv_icon

18:28 Uhr, 01.09.2013

Hallo,

mir ist nicht klar, wie Du

Q' (x)

berechnest und auf

x' = (1,1,1,1)

kommst.

Jedenfalls ist

Q' (x) = B + 2 \cdot x^{T} \cdot A

und das ist gleich

(0,0,0,0)

zu setzen.

Gruß pwm

Luden aktiv_icon

18:52 Uhr, 01.09.2013

Ah ok. Irgendwie finde ich keine Infos, wie man nach

x

ableitet wenn Matrizen im Spiel sind. Gelten da die selben Regeln, wie wenn man annimmt, dass die Matrizen einfach Variablen sind? Wie verhält sich dann

x^{T}

pwmeyer aktiv_icon

12:56 Uhr, 02.09.2013

Hallo,

das kommt alles darauf an, was Ihr so bezüglich Differentiation gemacht habt.

Jedenfalls ist doch

Q (x) = \sum_{i = 1}^{n} B_{i} \cdot x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} \cdot x_{i} \cdot x_{j}

(hier

n = 0)

. Das kannst Du doch partiell nach, sagen wir,

x_{k}

differenzieren.

Gruß pwm

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