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Bestimmen von Spann

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Tags: Spann, Vektorraum

Moe93 aktiv_icon

00:58 Uhr, 11.02.2016

Ich weiß einfach nicht, wie man bei folgender Aufgabe Spann bestimmen soll. Ich habe mir inzwischen zwei Stunden den Kopf darüber zerbrochen. Vielleicht kann man mir ja jemand helfen.
Danke im Voraus!

"Sei

M

eine Menge. Wir betrachten den K-Vektorraum Abbildung(M,K) für einen Körper K. Für

m \in M

definieren wir

δ_{m} : M \to K

durch

δ_{m} (m) = 1

und

δ_{m} (m') = 0

für alle

m' \in M

{

m}. Bestimmen Sie Spann

({δ_{m} | m \in M})

."

Die Lösung ist scheinbar: Abbildung(M,

ℝ)

So wie ich das verstanden haben, sind alle

λ δ_{m} (m') = 0

nicht Teil der Linearkombination. Dann blieben nur

λ δ_{m} (m) = λ 1

mit

λ \in K

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

07:13 Uhr, 11.02.2016

Es kommt nur der ganze Raum der Abbildungen raus, wenn

M

endlich ist.
Wenn

M

endlich ist,

M = {m_{1}, . . ., m_{n}}

, dann ist jede Abbildung

f : M \to K

eindeutig durch die Werte

f (m_{i})

festgelegt und es gilt

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}} (x)

für jedes

x

aus

M

(prüft man, indem man für

x

ein

m_{j}

einsetzt). Damit ist

f

eine lin. Kombi von

δ_{m_{i}}

und damit liegt

f

im Span.

Moe93 aktiv_icon

09:49 Uhr, 11.02.2016

Vielen Dank erstmal!

Also ist in diesem Fall:

f (m_{i}) \in K = λ_{i} \in K

?

und weil:

\forall m \in M : δ_{m} (m) = 1

gilt:

f = f (m_{1}) \cdot 1 + f (m_{2}) \cdot 1 + ... . = f (m_{1}) + f (m_{2}) + ... ... ... .

.

Also liegen alle (#=endlich viele)

f (m_{i}) \in K

mit

m \in M

im Spann?

DrBoogie aktiv_icon

09:59 Uhr, 11.02.2016

Stopp. Jetzt hast Du Einiges falsch geschrieben.
Dass

f (m_{i}) \in K

, ist richtig, weiter aber wird's komisch.
Zuerst mal,

f = f (m_{1}) + f (m_{2}) + . . .

kann grundsätzlich nicht stimmen, denn rechts steht eine Zahl aus

K

, links aber eine Abbildung und keine Zahl. Wenn Du eine Zahl brauchst, musst Du

f (x)

schreiben, nur aber die Frage, was für

x

Du nimmst. Die Wahrheit ist, dass Du mit keinen

x

rechts

f (m_{1}) + f (m_{2})

bekommst. Warum - nimm die Formel, die ich schon angegeben habe, und prüfe das.
Und die Aussage "

f (m_{i}) \in K

liegen im Span" kann auch nicht stimmen, denn im Span liegen Abbildungen und keine Zahlen, und

f (m_{i})

sind Zahlen. Vielleicht meintest Du es auch richtig, aber so darf man das nicht schreiben.

Moe93 aktiv_icon

11:17 Uhr, 11.02.2016

Ah, ja stimmt! Dass auf der linken Seite der Gleichung eine Abbildung

f

steht und auf der rechten Seite derselben eine Zahl, kann wirklich nicht stimmen.
Wir haben das in der Übung so aufgeschrieben:

f = f (m_{1}) \cdot δ_{m_{1}} + f (m_{2}) \cdot δ_{m_{2}} +

. .

. + f (m_{n}) \cdot δ_{m_{n}},

was ich etwas seltsam finde. Denn hier sind ja

f

und

δ

Abbildungen, aber

f (m)

eine Zahl.

\sum_{i = 1}^{2} f (m_{j}) = f (m_{1}) δ_{m_{1}} (m_{j}) + f (m_{2}) δ_{m_{2}} (m_{j})

Welche Rolle spielen eigentlich dann

δ_{m} (m) = 1

und

δ_{m} (m') = 0

?

Wirklich kapiert habe ich das alles noch nicht, obwohl ich glaube, dass ich die Definition verstanden habe, da sie ja einfach zu verstehen ist.

DrBoogie aktiv_icon

11:54 Uhr, 11.02.2016

"was ich etwas seltsam finde. Denn hier sind ja f und δ Abbildungen, aber f(m) eine Zahl."

Das ist aber OK. Eine Abbildung kann man mit einer Zahl multiplizieren, das ist erlaubt. Das Ergebnis ist eine Abbildung. Also, konkret bedeutet

a \cdot f

die Abbildung

x \to a \cdot f (x)

. Hier gibt's kein Problem.
Insofern ist

f = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}}

eine saubere Schreibweise. Wenn man diese Gleichung "mit Leben füllen" will, wenden man beide Abbildungen (

f

und

\sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}}

) auf ein

x

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}} (x)

. Wenn z.B.

x = m_{1}

, dann wird daraus

f (m_{1}) = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}} (m_{1}) = f (m_{1}) \cdot 1 + f (m_{2}) \cdot 0 + f (m_{3}) \cdot 0 + . . . = f (m_{1})

, was auch natürlich stimmt.
So kann man sehen, dass

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) δ_{m_{i}} (x)

für alle

x

aus

M

stimmt.

Moe93 aktiv_icon

12:49 Uhr, 11.02.2016

Danke für Deine Geduld! :-)
Eine Rückfrage hätte ich noch, die die letzte sein wird:

Um mein Verständnis zu überprüfen(in concreto):

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 2 + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 3

ist mit

2,3 \in K

eine Linkombi von

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 9 \end{matrix})

und folglich im Span.

In meinem Beispiel wären dann - abhängig von

m_{i} - :

für

z . B

m_{i}

mit

i = 1

und für

m_{i}

mit

i = 2

f (m_{1})

f (m_{2}),

die Abbildungen

f : M \to K, m_{i} \mapsto f (m_{i})

in Span(

{

δ_{m_{i}}})

enthalten?
Oder alle Abbildungen

f : M \to K, m_{1} \mapsto f (m_{1})

DrBoogie aktiv_icon

12:53 Uhr, 11.02.2016

m_{1} \to f (m_{1})

definiert noch keine Abbildung. In dieser Aufgabe geht es um Abbildungen, die auf ganz

M

definiert sind. Also muss man

f (x)

für alle

x

aus

M

angeben, um eine Abbildung zu definieren.

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 11.02.2016

Um das Ganze zu verstehen, nimm einfach ein Beispiel:

M = {a, b}

, also

M

aus zwei Elementen. Was für Abbildungen gibt's in diesem Fall? Wie kann man sie als lineare Kombinationen von

δ_{a}

und

δ_{b}

darstellen?

Moe93 aktiv_icon

10:42 Uhr, 12.02.2016

Habe ich bereits gemacht. Ich habe alles - zumindest in Ansätzen - verstanden. Werde mich erstmal anderen Aufgaben widmen, um voran zu kommen.
Vielen Dank!

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