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Bestimmte Divergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Bierlu aktiv_icon

11:26 Uhr, 12.11.2018

Hallo zusammen,

in der Vorlesung wurden folgende Sätze vorgestellt, die zur Übung bewiesen werden sollen:

I)Sei

(a_{n})

bestimmt divergent gegen

+ \infty

(bzw. gegen

- \infty)

. Sei

(b_{n})

eine beschränkte Folge. Dann ist auch

(a_{n} + b_{n})

bestimmt divergent gegen

+ \infty

(bzw.

- \infty)

Beweisidee: ich habe eine Folge die gegen

+ \infty

bestimmt divergiert. Nach Grenzwertsätzen gilt ja:

lim_{n} \to \infty (a_{n} + b_{n}) = lim_{n} \to \infty (a_{n}) + lim_{n} \to \infty (b_{n}) = a + b

. Dadurch würde sich für

a = + \infty

ergeben

+ \infty + b = + \infty

. Problem ist nur, dass dieser Satz nur für konvergente Folgen

a_{n}

und

b_{n}

gilt. Ist die Herangehensweise trotzdem richtig? Reicht diese Argumentation mathematisch aus?

II) Sei

(a_{n})

bestimmt divergent gegen

+ \infty

oder

- \infty

. Dann existiert

n_{o} \in ℕ

mit

a_{n} \neq 0

für alle

n \geq n_{o}

und die Folge

{(\frac{1}{a_{n}})}_{n} \geq n_{0}

konvergiert gegen 0.

Beweisidee: da

a_{n}

gegen

+ \infty

konvergiert wird der Nenner der Folge

(\frac{1}{a_{n}})

unendlich groß. Somit konvergiert die Folge gegen 0.

Ist das so richtig? oder muss ich es anders aufschreiben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:39 Uhr, 12.11.2018

Hallo
nein, du kannst nicht mit GW Sätzen argumentieren, du musst die Def für bestimmte Divergenz benutzen: zu jedem

M > 0

es gibt ein

N 1,

so dass

a_{n} > M

für alle

n > N 1,

entsprechend für

b_{n}

mit

N 2

daraus dann auf

a_{n} + b_{n} > M

schliessen .
dasselbe im nächsten Beweis, die Idee ist zwar richtig, muss aber mit den 2 Definitionen für 1. bestimmt . Divergent und 2. Nullfolge gezeigt Werden. Kurz nicht mit vagen Worten sondern den exakten Definitionen argumentieren.
Gruß ledum

Bummerang

12:05 Uhr, 13.11.2018

Hallo,

Dein "Weg" ist tatsächlich in keinster Weise gangbar! Du könntest aber wie folgt argumentieren:

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

hat eine untere Schranke und keine obere Schranke, das ist äquivalent zu

(a_{n})

ist bestimmt divergent gegen

+ \infty

{(b_{n})}_{n \in ℕ}

hat eine untere Schranke und eine obere Schranke, das ist äquivalent zu

(b_{n})

ist beschränkt.

Zeige nun, dass

{(a_{n} + b_{n})}_{n \in ℕ}

nach unten beschränkt ist und nimm an, dass es auch nach oben beschränkt sei. Leite daraus ab, dass dann auch

(a_{n})

nach oben beschränkt sein muss, das ist ein Widerspruch, weshalb die Annahme

(a_{n} + b_{n})

sei nach oben beschränkt falsch ist. Damit ist

(a_{n} + b_{n})

nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, was äquivalent dazu ist, dass

(a_{n} + b_{n})

bestimmt divergent gegen

+ \infty

ist.

Im Fall, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

bestimmt divergent gegen

- \infty

ist führt man den Beweis analog mit oberer Schranke für

(a_{n})

und

(b_{n}),

mit unterer Schranke für

(b_{n})

und keiner unteren Schranke für

(a_{n})

. Dann ist

(a_{n} + b_{n})

nach oben beschränkt und nach unten unbeschränkt.

Bierlu aktiv_icon

12:55 Uhr, 13.11.2018

Ah okay. Jetzt hab ich’s. Vielen Dank euch :-)

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