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Betrag eines Vektors in Kugelkoordinaten

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Betrag, Kugelkoordinaten

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21:43 Uhr, 18.06.2018

Hallo,

vorab sorry, dass ich kein Latex benutze, ich hoffe man kann es lesen.
Ich möchte allgemein den Betrag eines Vektors r(vektor)=(x,y,z)^T in Kugelkoordinaten bestimmen.
In kartesischen Koordinaten gilt ja r(betrag)=(x^2+y^2+z^2)^(1/2).

(I)

Es gilt für die Transformation:

x = r \cdot cos (a) \cdot sin (b)

(II)

y = r \cdot sin (a) \cdot sin (b)

(III)

z = r \cdot cos (b)

(IV)

Offensichtlich ist ja der Betrag des Vektors in den Kugelkoordinaten einfach

r

.

Ich würde jetzt erwarten, dass bei Einsetzen der Transformationen (II),(III),(IV) in

(I)

auf der rechten Seite

r

rauskommt.
Dies ergibt sich jedoch nicht, falls ich nicht irgendwelche schönen trigonometrischen Beziehungen übersehen habe.

Habe ich einen Denkfehler? Ist das Einsetzen überhaupt sinnvoll?
Vorab danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DerDepp aktiv_icon

22:38 Uhr, 18.06.2018

Hossa ;-)

x^{2} + y^{2} + z^{2}

= r^{2} \cos^{2} a \sin^{2} b + r^{2} \sin^{2} a \sin^{2} b + r^{2} \cos^{2} b

= r^{2} (\cos^{2} a \sin^{2} b + \sin^{2} a \sin^{2} b + \cos^{2} b)

= r^{2} [\underset{= 1}{\underset{⎵}{(\cos^{2} a + \sin^{2} a)}} \cdot \sin^{2} b + \cos^{2} b]

= r^{2} \underset{= 1}{\underset{⎵}{(\sin^{2} b + \cos^{2} b)}}

= r^{2}

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22:53 Uhr, 18.06.2018

Danke für die Antwort!
Blöde Nachfrage, aber wieso ist es gültig, dort direkt die 1 einzusetzen?
Ignoriert man damit nicht Punkt- vor Strichrechnung?

ledum aktiv_icon

23:27 Uhr, 18.06.2018

Hallo
Nein, dafür steht ja die Klammer! und die darf man immer zuerst ausrechnen, das hat nichts mit Punkt vor Strich zu tun, bzw die Klammer ist genau dafür da!

(10 - 9) \cdot 7 = 1 \cdot 7 = 7

oder du rechnest

70 - 63 = 7

Gruß ledum

1431279

1431259

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