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Betrag eines komplexen Bruch berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Daisuke aktiv_icon

11:31 Uhr, 31.12.2019

Hallo.
Gegeben ist der angehängte Bruch, dessen Betrag soll berechnet werden.

Ich habe erst den Zähler mit der binomischen Formel ausmultipliziert aber habe einen Therm erhalten, der sich nicht weiter vereinfachen lässt, das ist also wahrscheinlich der falsche Weg.
Im Nenner habe ich keinen Imaginärteil, kann also nicht mit der komplexen Konjunktion multiplizieren.

Hat jemand eine Idee wie man das lösen könnte?
Danke vorab.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

11:47 Uhr, 31.12.2019

Hallo,
der Betrag ist multiplikativ:

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣

.
Also nicht ausmultiplizieren, sondern erst die Beträge bilden ...
Gruß ermanus

Daisuke aktiv_icon

11:49 Uhr, 31.12.2019

Es geht nur um Z1, wie bilde ich den Betrag von Z1?
Z2 ist irrelevant.

anonymous

11:50 Uhr, 31.12.2019

Ich hätte empfohlen, nicht (binomisch) auszumultiplizieren, sondern die Zahl in die Euler-Polarform zu überführen. Dann kannst du ganz leicht potenzieren...

ermanus aktiv_icon

11:53 Uhr, 31.12.2019

Ich fürchte, dass du meine Aussage nicht verstanden hast:
ich habe gemeint, dass der Betrag eines Produktes gleich dem Produkt
der Beträge ist, also z.B.:

∣ (- 3 - 3 i \sqrt{3})^{4} ∣ = (∣ - 3 ∣ \cdot ∣ 1 + i \sqrt{3} ∣)^{4} = 3^{4} \cdot (1 + 3)^{2} =

...
Damit kann man die Aufgabe "im Kopf" rechnen ;-)

Daisuke aktiv_icon

12:02 Uhr, 31.12.2019

Ja, da habe ich dich falsch verstanden.
Da bin ich jetzt garnicht drauf gekommen obwohl es so offensichtlich war.
Das richtige Ergebnis bekomme ich aber trotzdem nicht raus, das müsste laut Lösung 6 sein :/

anonymous

12:03 Uhr, 31.12.2019

Um dir zu helfen, müsstest du schon wissen lassen,

>

was du gerechnet hast,

>

wie du vorgegangen bist,

>

wo du stehst,

>

was du raus bekommen hast,

> . .

Daisuke aktiv_icon

11:47 Uhr, 02.01.2020

Jetzt passt es auch bei mir aber wie kommst du von "-3i" zu "1", weshalb wird aus der drei eine eins?

ermanus aktiv_icon

11:50 Uhr, 02.01.2020

Hallo,
Ausklammern: es ist

- 3 - 3 i \sqrt{3} = (- 3) (1 + i \sqrt{3})

Daisuke aktiv_icon

11:56 Uhr, 02.01.2020

Und weshalb hat "(1+sqrt(3)) nun nur noch 2 als Potenz und nicht mehr 4?
Vielen Dank für deine Hilfe, das hilft mir gerade sehr weiter.

ermanus aktiv_icon

11:58 Uhr, 02.01.2020

Für eine komplexe Zahl

z = a + b i

gilt

{∣ z ∣}^{2} = a^{2} + b^{2}

.
Das solltest du in deinen Unterlagen finden ;-)
Also ist

{∣ 1 + i \sqrt{3} ∣}^{2} = 1^{2} + {\sqrt{3}}^{2} = 1 + 3

anonymous

13:19 Uhr, 02.01.2020

"Und weshalb hat

(1 + \sqrt{3} (\cdot i))

nun nur noch 2 als Potenz und nicht mehr 4?"

Weil

{| 1 + i \cdot \sqrt{3} |}^{4} = {[{| 1 + i \cdot \sqrt{3} |}^{2}]}^{2} = {[1^{2} + {\sqrt{3}}^{2}]}^{2} = {[1 + 3]}^{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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