Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Betrag komplexer Zahl hoch n

Betrag komplexer Zahl hoch n

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Muetzerich aktiv_icon

17:37 Uhr, 26.11.2010

Hallo!

Eine ganz kurze Frage: Ist

∣ z ∣^{n} = ∣ z^{n} ∣

für alle komplexen Zahlen z und alle natürlichen Zahlen n?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

01:52 Uhr, 27.11.2010

Hallo,

es gilt im reellen wie im komplexen:

| a \cdot b | = | a | \cdot | b |

Und demzufolge gilt (nach vollständiger Induktion und

a = b = z) : | z^{n} | = {| z |}^{n}

Muetzerich aktiv_icon

01:54 Uhr, 27.11.2010

Ahja, ich erinnere mich.

Besten Dank :-)

aleph-math aktiv_icon

18:28 Uhr, 27.11.2010

*gelöscht!*

aleph-math aktiv_icon

18:33 Uhr, 27.11.2010

Bei Potenzen ist die Zeigerdarstell. vorteilhaft. Damit läßt sich der behaupt. Zusammenhang leicht beweisen:

/ z^{n} / = / (r \cdot e^{i φ})^{n} / = / r^{n} \cdot (e^{i φ})^{n} / = / r^{n} / \cdot / e^{i φ} e^{i φ} . . . e^{i φ} / =

= / r /^{n} \cdot / e^{i φ} / \cdot / e^{i φ} / \cdot . . . \cdot / e^{i φ} / = / r /^{n} \cdot / e^{i φ} /^{n} =

= (/ r / \cdot / e^{i φ} /)^{n} = (/ r \cdot e^{i φ} /)^{n} = / z /^{n}

. Voilà!

Oder war das zu schnell?

Weiter schönes WE!

825756

825453

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?