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Betrag und Argument einer komplexen Zahl bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Additionstheorem, Anzahl, Betrag, Komplexe Zahlen, Polaarkoordinaten

Mathe--- aktiv_icon

20:33 Uhr, 13.12.2011

Es seien

z_{1}, z_{2} \in ℂ

zwei beliebige komplexe Zahlen. Die komplexe Zahl

z := z_{1} z_{2}

sei das Produkt der beiden.

Bestimmen Sie den Betrag und das Argument von

z

indem Sie

z_{1}

und

z_{2}

in Polaarkoordinaten mit Betrag

r_{i}

und das Argument

δ_{i}, i = 1,2,

darstellen und diese multiplizieren.

(Hinweis: Nutzen Sie die Additionstheoreme)

Ich habe mir zuerst mal alle Formeln notiert, die ich diesbezüglich kenne:

Betrag

| z | := r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = | a +

bi|

Argument:
arg(z):= arc (z)

:= δ =

arc

\frac{cos x}{r} =

arc

\frac{sin y}{r} =

arc

\frac{tan y}{x}

Additionstheoreme:

sin (x + y) = cos x \cdot sin x + cos y \cdot sin x

und

cos (x + y) = cos x \cdot cos y - sin x \cdot sin y

Ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

vulpi aktiv_icon

21:15 Uhr, 13.12.2011

Hi, ich denke nicht, dass die Argumente aus der kartesischen Darstellung bestimmt werden sollen, weil das für allgemeine

x, y

schlecht geht, weil die Bestimmung von der Lage (Quadranten) abhängt.

Du sollst

z_{1}, z_{2}

polar nur abstrakt darstellen :

z_{1} = r_{1} ({cos φ}_{1} + i \cdot {sin φ}_{1})

z_{2} = r_{2} ({cos φ}_{2} + i \cdot {sin φ}_{2})

Jetzt das Produkt aus beiden Termen bilden, und dann die passenden Add.-Theoreme
"rückwärts" anwenden.
Dann sollte der Moivresche Satz dabei rausschauen .

lg

Mathe--- aktiv_icon

21:42 Uhr, 13.12.2011

Ich hab jetzt versucht

z_{1}

und

z_{2}

zu multiplizieren:

z_{1} \cdot z_{2} = (r_{1} (cos

φ_1

+ i sin

φ_1))

(r_{2} (cos

φ_2

+ i sin

φ_2))

= (r_{1} r_{2}) ((cos

φ_1

+ i sin

φ_1)

(cos

φ_2

+ i sin

φ_2))

= (r_{1} r_{2}) (cos

φ_1

cos

φ_2

+ cos

φ_1

i sin

φ_2

+ i sin

φ_1

cos

φ_2

+ i sin

φ_1

i sin

φ_2)

Nach Additionstheoreme gilt:

= (r_{1} r_{2}) (i sin

(φ_1

+

φ_2)

+ cos (

φ_1

+ sin

φ_2))

ist das richtig?

vulpi aktiv_icon

21:46 Uhr, 13.12.2011

Das passt ja, bis auf den Tippfehler mit dem

{sin φ}_{2}

in der cos-Klammer, natürlich nur

φ_{2}

.
Außerdem sollt mans in der konventionellen Re, Im - Reihenfolge schreiben

Mathe--- aktiv_icon

21:54 Uhr, 13.12.2011

hmm,

also Realbestandteil ist doch der Summand ohne

i,

und Imaginär mit

i

.

also so:

(r_{1} r_{2}) (i sin

(φ_1

+

φ_2)

+ i^{2} cos

(φ_1

+

φ_2))

wie soll ich das jetzt sortieren?

: S

vulpi aktiv_icon

21:57 Uhr, 13.12.2011

Ne, du warst ja richtig !

Nur die Anordnung ist üblicherweise erst

cos

r_{1} r_{2} (cos (φ_{1} + φ_{2}) + i \cdot sin (φ_{1} + φ_{2}))

Das war aber nur Optik, alles korrekt :-)

Mathe--- aktiv_icon

21:57 Uhr, 13.12.2011

sehr schön,

so jetzt setze ich die Werte ein oder?

vulpi aktiv_icon

21:59 Uhr, 13.12.2011

Das gibts kein

i^{2}

mehr, das wurde ja im

- sin (φ_{1}) sin (φ_{2})

schon verbraten.

Mathe--- aktiv_icon

22:01 Uhr, 13.12.2011

ok.

Soll ich jetzt die Werte einsetzen?

vulpi aktiv_icon

22:02 Uhr, 13.12.2011

Da gibts nichts mehr einzusetzen, es war für beliebige

z_{1}, z_{2}

slso allgemein zu zeigen.
Konkrete Zahlen müßten dann halt, wenn kartesisch vorgegeben , erst noch konvertiert werden.
Du kannst ja spaßeshalber mal 2 Zahlen "normal" algebraisch multipliziere, und dann
denn Moivre testen, wenn mal Zeit und Lust übrig sind :-)

lg

Mathe--- aktiv_icon

22:04 Uhr, 13.12.2011

ach so,

und was soll ich mit den φ_i