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Betragsfunktion zeichnen

Schüler

Tags: Betrag, Betragsfunktion, Koordinatensystem

HiHat aktiv_icon

15:32 Uhr, 28.09.2015

Stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch:

"Zeichne den Graphen der Funktion

f (x)

in ein kartesisches Koordinatensystem"

f (x) = - | x - 2 | - | 2 x + 4 |

So, nun frage ich mich, wie man diese Funktion zeichnen kann. Klar, man könnte durch das Einsetzen von x-Werten in die Funktion die entsprechenden y-Werte ermitteln. Gemäß der Aufgabenstellung wäre dies ja auch in Ordnung. Aber ich frage mich, ob es da einen eleganteren Lösungsweg gibt.

VG HiHat

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

15:38 Uhr, 28.09.2015

Dass der Graph stückweise aus unterschiedlichen Geraden besteht, sollte klar sein.
Ebenso ist sofort ersichtlich, dass

f (x) < 0 \forall x \in ℝ

.

Durch die beiden Beträge ergeben sich Knickstellen dort, wo diese Null sind.
Es genügt also, die drei Bereiche

x < - 2, - 2 \leq x \leq 2

und

x > 2

zu betrachten.

R

HiHat aktiv_icon

16:12 Uhr, 28.09.2015

Hey Roman,

danke für deine Hilfe!

kann man dann in den von dir angegebenen Bereichen einzelne Funktionen aufstellen? (ohne zuerst diese einzuzeichnen bzw. durch vorheriges Einsetzen zu ermitteln).

Also

z . B

. die Funktion

s (x) = - x - 6

im Bereich −2 ≤

x

≤ 2

ledum aktiv_icon

16:40 Uhr, 28.09.2015

Hallo
ja richtig für den Bereich..
Gruß ledum

HiHat aktiv_icon

16:48 Uhr, 28.09.2015

Hey,

Bei

f (x) = - | x - 2 |

wäre es ja problemlos möglich für die zwei Graphen für

x > 2

bzw.

x < 2

zu ermitteln.

Aber wenn eine Funktion aus 2 Beträgen besteht, kann ich mir nicht erklären, wie ich auf die drei verschiedenen Funktionsgleichungen kommen soll, ohne die Funktion vorher zu zeichnen.

Femat aktiv_icon

18:11 Uhr, 28.09.2015

Mein Lieblingsprogramm Geogebra macht folgendes:

Roman-22

18:57 Uhr, 28.09.2015

>

Mein Lieblingsprogramm Geogebra macht folgendes:
Na, da wird hoffentlich jedes Plotprogramm Entsprechendes ausspucken. Aber es geht ja um die Frage:

>

Aber wenn eine Funktion aus 2 Beträgen besteht, kann ich mir nicht erklären, wie ich auf die drei

>

verschiedenen Funktionsgleichungen kommen soll, ohne die Funktion vorher zu zeichnen.

Daher: Wann immer du Beträge hast, steht eine Fallunterscheidung an - ist das Argument positiv (oder Null), dann können die Betragsstriche einfach durch ein Klammerpaar ersetzt werden. Ist das Argument negativ, dann wird ebenfalls eine Klammer gesetzt und zusätzlich davon das Vorzeichen geändert.

Bei zwei Beträgen hast du zwei Fallunterscheidungen, die du beliebig miteinander (UND-verknüpft) kombinieren musst. Also gibts theoretisch vier Fälle zu berücksichtigen.

In deinem Fall sehe ich

| x - 2 |,

daher gehts um

x - 2 \geq 0

oder

x - 2 < 0

. Das ist aufgelöst gleichwertig mit

x \geq 2

oder

x < 2

.

Ebenso kommt

| 2 x + 4 |

vor, was auf

2 x + 4 \geq 0

oder

2 x + 4 < 0

führt und das ist gleichwertig mit

x \geq - 2

oder

x < - 2

.

Und jetzt kombinieren wir diese Fälle auf alle vier Arten.

1) x \geq 2

UND

x \geq - 2 :

Hier müssen wir in keinem Fall das Vorzeichen ändern und es handelt sich hier um alle

x \geq 2

(die ja automatisch auch

\geq - 2

sind).
In diesem Bereich wird die Funktion zu

f (x) = - (x - 2) - (2 x + 4) = - 3 x - 2

2) x \geq 2

UND

x < - 2 :

Eine Zahl, die größer als

+ 2

ist und gleichzeitig auch kleiner als

- 2,

die wird man schwer finden können. Hier gibts also nichts zu gewinnen - kein Beitrag zur Funktion

3) x < 2

UND

x \geq - 2 :

Anders ausgedrückt geht es hier um den Bereich

- 2 \leq x < 2

. Hier müssen wir beim ersten Betrag also das Vorzeichen wechseln und kommen auf das Ergebnis, welches du schon richtig genannt hast:

f (x) = + (x - 2) - (2 x + 4) = - x - 6

4) x < 2

UND

x < - 2 :

Also alle

x < - 2

(automatisch auch

< 2)

. Hier müssen bei beiden Beträgen die Vorzeichen geändert werden:

f (x) = + (x - 2) + (2 x + 4) = 3 x + 2

Hättest du in deiner Angabe drei Betragsterme gegeben, dann würdest du theoretisch

2^{3} = 8

Kombinationen untersuchen müssen. Auch hier kommt es idR zu Situationen, bei denen die Kombinationen (wie bei deinem Beispiel die Zweite) auf einen unmöglichen Fall führen (sich widersprechende Bedingungen) und bei anderen Kombination eine Bedingung eine oder alle anderen inkludiert (so wie zB

x < - 2

die Bdingung

x < 2

inkludiert). Du wirst also im Allgemeinen bei drei Beträgen effektiv nur vier Bereiche zu unterscheiden haben und die Nahtstellen sind die Nullstellen der Betragsargumente (so wie in deinem Bsp

- 2

und

2)

. Das gilt jedenfalls für lineare Argumente.

R

HiHat aktiv_icon

13:48 Uhr, 29.09.2015

Wow, das nenne ich doch mal eine einleutende Antwort - warum kann das mein Prof nicht so erklären? :-D)

Nun stehe ich aber leider schon wieder vor dem nächsten Problem:

"Zeichne den Graphen der Funktion f(x)"

f (x) = | x^{2} + 5 x - 4 |

Habe zunächst die Knickstellen bestimmt

(x = - 2,5 - \sqrt{10,25}

bzw.

- 2,5 + \sqrt{10,25})

Jetzt weiß ich also, dass ich die 3 Bereiche

1.

- 2,5 - \sqrt{10,25} \leq x \leq - 2,5 + \sqrt{10,25}

x ≻ 2,5 + \sqrt{10,25}

x < - 2,5 - \sqrt{10,25}

anschauen und die für diesen Bereich gültige Funktionsgleichung aufstellen muss.

Soweit so gut - für Bereich 1. und 2. konnte ich gemäß Romans "Anleitung" einen Funktion ermitteln. Bei 1. wäre das

s (x) = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + 10,25

und bei 2.

k (x) = {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 10,25

.

So, jetzt stehe ich aber vor folgendem Problem: Setze ich x-Werte ein, die

x < - 2,5 - \sqrt{10,25}

sind, erhalte ich ja zunächst ein negatives Ergebnis innerhalb der Betragsstriche. Jetzt setze ich ein Minus davor und komme wieder

s (x)

.

Allerdings erhalte ich dann für den Bereich

x < - 2,5 - \sqrt{10,25}

wiederum negative Werte...eigentlich sollte man ja auf

k (x)

kommen.

Oder anders ausgedrückt: sowohl für Bereich 1. als auch 3. erhalte ich einen identischen Funktionsterm.

Ich merke schon: Ich und Beträge werden niemals Freunde werden :´-(

btw: ihr solltet hier mal sowas wie nen Spende-Button einführen. Finde es echt klasse, dass einem unentgeltlich hier so gut geholfen wird! Okay, genug geschleimt ;-)

Edit: Hat sich mittlerweile erledigt - hatte einen Zahlendreher drin :-)

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