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Betragsfunktionen und Funktionsscharen

Schüler

Tags: Betragsfunktion, funktionsschaar

Fuenfviertel

21:08 Uhr, 15.10.2012

Hallo zusammen,

ich habe momentan ziemliche Probleme mit folgenden Aufgaben:

Aufgabe 1.
Gegeben ist die Betragsfunktion

f : x \to ∣ x - 2 ∣ + 1

a) Machen Sie eine Wertetabelle für x zwischen -2 und + 4 und zeichnen Sie den Graphen.

b) Schreiben Sie die Funktion f ohne Betragsstriche.

Aufgabe 2.
Durch die Funktionsgleichungen

a)

f_{t} (x) = t x + 4

und
b)

g_{t} (x) = \frac{1}{2} x + t

sind zwei Funktionsscharen linearer Funktionen gegeben.
Welche Funktion aus der Funktionsschar

f_{t}

und welche aus der Schar

g_{t}

geht jeweils durch den Punkt P(2|1) ?

Mein Lösungsansatz:

Aufgabe 1:
Soweit ich weiß, ordnet eine Betragsfunktion einer Zahl ihren Abstand zu 0 zu.
Sie darf also auch nicht kleiner als 0 sein.

Also habe ich mal nach diesem Kriterium eine Wertetabelle erstellt (Hoffe man kanns lesen):

x___-2__-1__0__1__2__3__4__
y___ 5___4__1__0__1__2__3__

Nur wenn ich nun den Graphen zeichne, kommt der mir etwas seltsam vor. Also gehe ich mal stark davon aus, dass mein Lösungsvorschlag falsch ist.

Zu Aufgabe 2:
Hier hab ich leider noch nicht wirklich etwas erarbeitet. Ich gehe aber davon aus,
dass der 1. Schritt sein wird, den Punkt P (2|1) in die Gleichungen einzusetzen und danach die Gleichungen irgendwie umzustellen... (?)

Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen! Vielen Dank schon einmal für Antworten :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

22:08 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

zur Aufgabe 1:

zu den x-Werten 0 und 1 habe ich andere y-Werte heraus. Sonst habe ich die gleichen y-Werte.

Um eine Betragsfunktion ohne Betragsstriche auszudrücken zu können muss man eine Fallunterscheidung machen und jeweils die Betragsstriche auflösen. Also eine abschnittsweise definierte Funktion:

f(x)=

(hier die Betragsstriche der Funktion auflösen) für x>=2
(hier die Betragsstriche der Funktion auflösen) für x<2

Aufgabe 2:

Du schreibst:
"Ich gehe aber davon aus,
dass der 1. Schritt sein wird, den Punkt P (2|1) in die Gleichungen einzusetzen und danach die Gleichungen irgendwie umzustellen..."

Diese Idee finde ich gut. Du kannst ja dann jeweils t ganz konkret berechnen. Das kannst du ja mal machen.

Grüße,

pivot.

Fuenfviertel

20:34 Uhr, 16.10.2012

Danke für die Antwort :-)

Zu Aufgabe 1:
Welche Werte sind für x0 und x1 denn richtig?
Für x0 habe ich so gerechnet: 0-2+1= -1 und von -1 bis 0 ist 1.
Für x1 : 1-2+1 = 0, und von 0 bis 0 ist 0. :-P)

Dann habe ich da wohl etwas falsch verstanden. Nur was will sich mir nicht erschließen. Wäre super wenn Du mir da nochmal helfen könntest.

"Um eine Betragsfunktion ohne Betragsstriche auszudrücken zu können muss man eine Fallunterscheidung machen und jeweils die Betragsstriche auflösen. Also eine abschnittsweise definierte Funktion: "

Habe mir schon fast gedacht, dass es hier um abschnittsweise definierte Funktionen geht. Das würde zumindest mein Gefühl des "seltsam aussehenden Graphens" erklären. :-P)

Hmm. Aber Fallunterscheidung machen? Wie ist das gemeint?

Zu Aufgabe 2:

Dann will ich das mal versuchen.

a)

f_{t} = t x + 4

f_{t} = t * 2 + 4

1 = 2t + 4
2t = 1 - 4
2t = -3 |:2

f_{t} = - \frac{3}{2}

g_{t} (x) = \frac{1}{2} x + t

g_{t} = \frac{1}{2} * 2 + t

1 = 1 + t |-1

g_{t} = 0

Ist das so richtig?

pivot aktiv_icon

06:36 Uhr, 18.10.2012

Hallo,

du schreibst:

"Für x0 habe ich so gerechnet: 0-2+1= -1 und von -1 bis 0 ist 1.
Für x1 : 1-2+1 = 0, und von 0 bis 0 ist 0. :-P))"

x=0: Hier musst du die Betragsstriche berücksichtigen: |0-2|+1=2+1=3
x=1: |1-2|+1=|-1|+1=1+1=2

Bei der Fallunterscheidung musst die Betragsstriche dementsprechend auflösen einmal für

x \geq 2

und ein anderes Mal für

x < 2

Wie löst man denn Betragsstriche auf? Für

x \geq 2

habe ich es schon mal hingeschrieben (siehe Bild).

Aufgabe 2: Du hast die t´s richtig berechnet. Wenn du die t´s indizieren willst, dann eher so:

t_{g}

und

t_{f}

Grüße,

pivot.

anonymous

07:05 Uhr, 18.10.2012

Funktion 1 mit Geogebra

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anonymous

07:08 Uhr, 18.10.2012

Parameter: Funktion

1 (

Parameter über Schieberegler ändern )

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anonymous

07:10 Uhr, 18.10.2012

Parameter: Funktion

2 (

Parameter über Schieberegler ändern )

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Fuenfviertel

20:02 Uhr, 18.10.2012

Vielen Dank für Eure Antworten!

Dann ist ja wenigstens schon einmal Aufgabe 2 erledigt. :-)

Zu Aufgabe 1:

Wie du x0 errechnet hast, habe ich denke ich verstanden. Die "0" wird anscheinend nicht gezählt.
Aber wie ist das mit x1?

"|1-2|+1=|-1|+1=1+1=2"

Den ersten Teil kann ich gut nachvollziehen: |1-2| + 1 = |-1| + 1
Aber wie wird nun plötzlich aus der |-1| eine +1?
Und somit schließlich für x1: 1+1 = 2 ?

Wäre super nett wenn Du mir das nochmal genauer erklären könntest. :-)

Und leider habe ich auch noch ein Problem damit die Betragsstriche aufzulösen, bzw verstehe noch nicht so ganz den Sinn.
Könntest du mir die Vorgehensweise vllt. step-by-step noch einmal erklären?

@sqrt2012
Danke für deine Antworten!
Nun weiß ich schonmal, wie der Graph zu Aufgabe 1 aussehen soll.
Die Aufgabe 2 habe ich aber bereits gelöst. :-)

anonymous

20:08 Uhr, 18.10.2012

Vielleicht hilft das:
http//de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion#Reelle_Betragsfunktion
Beispiel:

| 5 | = 5

aber auch

| - 5 | = 5

Zur Erklärung der Formel bei Wiki

z . B

a < 0 \Rightarrow | a | = - a (

sieht etwas eigenartig aus, ist aber so )
weil

z . B

- 6 < 0 = | - 6 | = - (- 6) = + 6

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