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Betragsstriche???

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

s4773ss aktiv_icon

18:34 Uhr, 05.09.2013

Hallo,

das angefügte Bild ist aus meinem Skript zu DGL (Variation der Konstanten).
Meine Frage bezieht sich eher auf Grundkenntnisse, anstatt auf die DGL.

Ich kann nicht nachvollziehen warum die Betragsstriche in der letzten Zeile des

y

wegfallen.
Mir ist bewusst, dass die e-Funktion angewendet wird um zum letzten Schritt zu kommen.

Aber ich habe mir beispielsweise von Wolfram Alpha zeigen lassen, dass

e^{ln | x |} = | x |

ist.

Danach müsste ja dann die letzte Zeile dann auch mit

| y |

beginnen?!

Danke im Vorraus.

rundblick aktiv_icon

18:49 Uhr, 05.09.2013

der Grund, warum du den Betrag weglassen kannst, liegt in den Konstanten..

das

c

in der letzten Zeile ist im Prinzip nicht genau das gleiche

c

wie
jenes in der vorhergehenden Zeile

mach dir dazu mal ein paar Gedanken..

Apfelkonsument aktiv_icon

18:56 Uhr, 05.09.2013

Hallo,

gehen wir das mal Schritt für Schritt durch, denn es wird vieles nicht erwähnt, was wichtig ist, um das Endergebnis zu verstehen.

Zunächst einmal wird ganz am Anfang

y \equiv 0

ausgeschlossen. Da dies aber offensichtlich auch eine Lösung ist, berechtigt sich dadurch schonmal, dass auch die 0 zum Schluss als möglicher Wert für

c

zugelassen wird, denn dadurch hat man diese Lösung abgedeckt.

Gehen wir jetzt ein paar Schritte weiter:

Wir sind jetzt in der Tat bei

∣ y ∣ = e^{- \frac{x^{2}}{2} + c} = e^{c} * e^{- \frac{x^{2}}{2}}

.
Jetzt könnte man denken: Ok, wenn man sich

e^{c}

als neues

c

setzt(ist ja auch wieder nur eine Konstante), dann dürfte ich aber nicht

c \in ℝ

zulassen, sondern nur

c \in ℝ_{> 0}

, da ja die Exponentialfunktion nur dorthin abbildet.

Hier kommt der Betrag ins Spiel. Da

y

differenzierbar sein soll, ist

y

auch stetig. Wenn

∣ y ∣ = e^{c} * e^{- \frac{x^{2}}{2}}

gilt, dann ist

y

immer ungleich

0

. Dann kann es aber aufgrund der Stetigkeit nur entweder durchgängig positiv oder durchgängig negativ sein. Das heißt, wenn

y

durchgängig positiv ist, kannst du den Betrag für alle

x

einfach weglassen. Wenn

y

durchgängig negativ ist, kannst du

∣ y ∣

für alle

x

durch

- y

ersetzen. Dann steht dort

- y = e^{c} * e^{- \frac{x^{2}}{2}}

bzw.

y = (- e^{c}) * e^{- \frac{x^{2}}{2}}

. Setzt man sich jetzt also das neue

c

als den Vorfaktor vor der Exponentialfunktion, so sieht man ein, dass dieser dadurch durchaus auch negativ werden kann(nämlich genau dann, wenn

y

durchgängig negativ ist) und also

c \in ℝ^{*}

sinnvoll ist. Nimmt man dann noch die Null hinzu, so hat man genau alle Lösungen erfasst.

Der Betrag wird also nicht einfach weggelassen, sondern dadurch kommen bloß ein paar mehr Lösungen hinzu. Man könnte den Betrag in der Tat nicht einfach weglassen, wenn y das Vorzeichen wechseln könnte.

Ich hoffe ich habe da nun nicht zu viel drumherum geredet ;-)

s4773ss aktiv_icon

18:59 Uhr, 05.09.2013

Das ich habe bereits bedacht, kann es mir trotzdem nicht erklären warum der Grund darin liegt.

Manchmal schreiben wir auch

c^{~},

so dass

c^{~} = e^{c}

.

Das hab ich verstanden.

s4773ss aktiv_icon

19:01 Uhr, 05.09.2013

Meine gerade gestellte Frage erst mal zur Seite legen, da ich die Antwort von Apfelkonsument noch nicht gelesen habe :-)

s4773ss aktiv_icon

19:12 Uhr, 05.09.2013

Vielen Dank für die Mühe!

Tiefgründiger als ich dachte, aber nachvollziehbar.

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