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Betragsungleichung Lösen und Intervall bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsgleichung, Betragsungleichung, Intervall, Ungleichun

P45h4 aktiv_icon

18:02 Uhr, 26.12.2015

Hallo,

sitze gerade an einer Betragsgleichung und habe so meine Probleme mit der Lösung.

Die Gleichung:

\frac{∣ x - 1 ∣}{2 x - 4} < 2

Fallunterscheidung:

1)+ Nenner:

2 x - 4 > 0 \to x > 2

2)- Nenner:

x < 2

Fallunterscheidung Betragsgleichung:

X.1)

x + 1

ist wenn

x > - 1

X.2)

- x - 1

ist wenn

x < - 1

Frage 1. Habe ich die Fallunterscheidung richtig gemacht ?

Die Rechnung:

Fall 1.1

\frac{∣ x - 1 ∣}{2 x - 4} < 2 ∣ * (2 x - 4)

Nenner ist Positiv!

x + 1 < 2 * (2 x - 4)

l = 3 < x

Wenn ich mir die Fallunterscheidung angucke dann ist das für mich keine Scheinlösung.

Fall 1.2

\frac{∣ x - 1 ∣}{2 x - 4} < 2 ∣ * (2 x - 4)

Nenner ist Positiv!

- x - 1 < 2 * (2 x - 4)

l = \frac{7}{5} < x

Bei diese Lösung bin ich mir nicht sicher ob es eine Scheinlösung ist oder nicht, wenn man sich das auf einem Zahlenstrahl aufmalt beginnt die Lösung bei x>1.4 und die Fallunterscheidung bei x>2.

Fall 2.1 : Hier ändert sich ja nur das Relationszeichen und die Ergebnisse sind aber ja im Grund gleich.

l = 3 > x

Fall 2.2

l = \frac{7}{5} > x

Bei den letzten beiden bin ich mir auch unsicher.

In der Lösung steht

L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3} = [2, 3]

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

rundblick aktiv_icon

18:17 Uhr, 26.12.2015

\frac{| x - 1 |}{x - 2} < 4

\to

ist keine Gleichung - sondern eine UNgleichung..

\to

und:
deine Lösung

[2,3]

ist leider völlig falsch

Beispiel:

für

x < 2

ist die linke Seite immer negativ (warum wohl)?

\to

also bestimmt kleiner als

+ 4

und damit erfüllen zB Alle

x < 2

die Ungleichung

usw..

versuche nun selbst, den anderen Fall

: x > 2

nochmal neu und richtig zu bearbeiten:

\to . .

.
.

P45h4 aktiv_icon

18:27 Uhr, 26.12.2015

Ich stell mal die Lösung rein, dass überrascht micht jetzt ein Wenig :-D)

Ist denn meine Rechnung wenigstens richtig?

Wie wäre denn das richtige Lösungsintervall?

rundblick aktiv_icon

18:33 Uhr, 26.12.2015

.
na, wenn das die Lösungsmenge sein soll , dann
solltest du vielleicht eher die ursprüngliche Aufgabe veröffentlichen ..

denn zu

\frac{| x - 1 |}{2 x - 4} < 2

passt das kopierte Lösungsangebot bestimmt NICHT,

.

P45h4 aktiv_icon

18:37 Uhr, 26.12.2015

Sorry habe die Aufgabe falsch abgeschrieben oben muss

x + 1

stehen und nicht

- 1

:-(

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 26.12.2015

.
"Sorry habe die Aufgabe falsch abgeschrieben "

\to

Aha! .. also so?

: \to \frac{| x + 1 |}{2 x - 4} < 2

\to

und richtig .. dazu passt nun die kopierte Lösung
ABER NICHT die von dir notierte Lösung

[2,3]

versuche, die angegebene Lösung richtig zu lesen !

nun zur Rechnung:

du brauchst nur zwei Fälle untersuchen:

1) \to x < 2

2) \to x > 2

die Überlegung zu Fall

1)

bleibt wie oben notiert ganz kurz

\to

DA BRAUCHST DU GAR NICHTs RECHNEN !

die Überlegung zu Fall

2)

solltest du neu machen

also

\to . .

.
.

P45h4 aktiv_icon

18:53 Uhr, 26.12.2015

Du hast recht in der Lösung steht ja:

Alle Reellenzahlen OHNE [2,3]

Die Fälle untersuche ich mal eben neu und melde mich.

P45h4 aktiv_icon

19:04 Uhr, 26.12.2015

Noch eine Frage du meinst ich muss nur 2 Fälle betrachtet, ingnoriere ich einfach die Betragsstriche dann? oder, unterscheide ich dort auch noch mal?

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19:04 Uhr, 26.12.2015

Noch eine Frage du meinst ich muss nur 2 Fälle betrachtet, ingnoriere ich einfach die Betragsstriche dann? oder, unterscheide ich dort auch noch mal?

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 26.12.2015

\frac{| x + 1 |}{2 x - 4} < 2

Nein - du ignorierst die Betragsstriche NICHT -im Gegenteil:

weil du sicher weisst, dass Beträge immer positiv sind
kannst du im Fall

1)

deshalb ohne Rechnung folgern:
wenn

x < 2

\to

ist der Betrag

\geq 0

\to

ist der NENNER garantiert IMMER negativ

\to

also ist der Bruch links für alle

x < 2

GARANTIERT kleiner gleich

0,

also erstrecht kleiner 2

\Rightarrow

ALSO IST DIE UNGLEICHUNG für alle

x < 2

ERFÜLLT
fertig
ok?

und was machst du nun mit dem Betrag und dem Bruch, wenn

x > 2

ÜBERLEGE statt sofort loszutoben..

also : wenn

x > 2 \Rightarrow

??

,

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