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Betragsungleichungen lösen & graphisch darstellen

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Sonstiges

Tags: Betragsungleichung, Ungleichung, Ungleichungen/Fallunterscheidung

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18:10 Uhr, 26.10.2021

Hallo!

Folgende Ungleichungen gilt es zu lösen und anschließend zu visualisieren:

1.

\frac{1 + | x |}{1 + x} < 2

{(x + | 2 x - 1 |)}^{2} < 1

Ich habe schon angefangen, diese umzuformen, jedoch sehe ich nicht wo mich das hinführen soll.
Zur 1.

z . B . :

\frac{1 + | x |}{1 + x} < 2 \Leftrightarrow \frac{| x | - 2 x - 1}{x + 1} = (| x | - 2 x - 1) \cdot \frac{1}{x + 1} < 0

Damit das gilt, müsste doch theoretisch entweder

| x | - 2 x - 1

oder

\frac{1}{x + 1} < 0

sein?
Also

x \in (- \infty, - 1)

für den Bruch und andersherum den anderen Teil

=^{!} 0

setzen
und dann die Nullstellen berechnen?
Wäre das eine Möglichkeit?
Bei der 2. bin ich jedoch überfragt, um ehrlich zu sein.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:45 Uhr, 26.10.2021

1. Bringe 2 nach links und bilde den Hauptnenner.
Dann Fallunterscheidung!

2. Fallunterscheidung:

x \leq \frac{1}{2}

x > \frac{1}{2}

HAL9000

18:46 Uhr, 26.10.2021

Merkwürdige Logik hast du da bei 1. :(

Tatsächlich muss von den beiden Termen

(∣ x ∣ - 2 x - 1)

und

x + 1

GENAU einer negativ und GENAU einer positiv sein.

Ich würde anders vorgehen:

a) Für

x \geq 0

ist

\frac{1 + x}{1 + x} = 1 < 2

immer erfüllt.

b) Für

x < - 1

ist der Zähler positiv, der Nenner negativ, und damit die Ungleichung

\frac{1 + ∣ x ∣}{1 + x} < 0 < 2

immer erfüllt.

c) Bleibt nur noch

- 1 < x < 0

zu untersuchen, äquivalent umgeformt ergibt sich

1 - x < 2 (1 + x)

- 1 < 3 x

x > - \frac{1}{3}

Ergibt summa summarum Lösungsmenge

L = (- \infty, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \infty)

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20:19 Uhr, 26.10.2021

Vielen Dank!
Das ist sehr viel ersichtlicher als den Gedanken, den ich zuvor verfolgt habe.. Dachte mir irgendwie schon, dass es nicht SO kompliziert sein kann, als ich es erwartet habe.

Hab das jetzt mal versucht zu übertragen auf die 2. Ungleichung:
1. Für

x = 0 :

{(0 + | 2 \cdot 0 - 1 |)}^{2} < 1

{(- 1)}^{2} < 1

1 < 1

was sich ja offensichtlich schon mal widerspricht.
2. Für

x < 0 :

{(x + | 2 x - 1 |)}^{2} < 1

{(x - (2 x - 1))}^{2} < 1

{(- x + 1)}^{2} < 1

1 - 2 x + x^{2} < 1

- 2 x + x^{2} < 1

auch da widerspricht es sich für mich, da nach Annahme

x < 0 \Rightarrow - 2 x + x^{2} > 0

Und sofern das schon mal stimmt noch den letzten Fall:
3. Für

x > 0 :

{(x + | 2 x - 1 |)}^{2} < 1

{(x + (2 x - 1))}^{2} < 1

{(3 x - 1)}^{2} < 1

9 x^{2} - 6 x + 1 < 1

9 x^{2} - 6 x < 0

6 x (\frac{3}{2} x - 1) < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}

Insgesamt also

L = (0, \frac{2}{3})

Hoffe mal, dass es dieses mal stimmt!

rundblick aktiv_icon

20:51 Uhr, 26.10.2021

{(x + | 2 x - 1 |)}^{2} < 1

" Insgesamt also

L = (0, \frac{2}{3})

......"

\to

wie ist denn das zu lesen und zu verstehen ?? .. nur 2 Elemente in der Menge

L

?

"Hoffe mal, dass es dieses mal stimmt!"

hast du zB selbst schon eine "Probe" gemacht?
zB: erfüllt

x = 0

deine Ungleichung?
.

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21:10 Uhr, 26.10.2021

Naja, es sollte eigentlich das offene Intervall von 0 bis

\frac{2}{3}

sein, als Menge hätte ich es als

L = {x \in ℝ | 0 < x < \frac{2}{3}}

notiert.(?)
Die Probe habe ich gemacht, war Teil meiner Argumentation, warum

x = 0

bzw.

x < 0

nicht in Frage kommen.

rundblick aktiv_icon

21:33 Uhr, 26.10.2021

.
"als Menge hätte ich es als L=

{

x∈ℝ|0<x<2/3} notiert.(?)"
ja.. denn

L

steht doch für Lösungs-Menge .. oder?

"..meiner Argumentation, warum

x = 0

bzw.

x < 0

nicht in Frage kommen."

ja, auch gut,
für

x < 0

bist du eigentlich oben doch schon mit dieser Zeile fertig

\to {(- x + 1)}^{2} < 1

denn da

x < 0 \Rightarrow - x > 0 .

. und damit ist(-x+1) also schon

> 1 .

. und natürlich das Quadrat davon erst recht..

aber jetzt solltest du vielleicht den Teil mit

x > 0

nochmal genauer anschauen ..
(zB was ist da über den vorkommenden Betrag zu bemerken/beachten?)

.

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21:45 Uhr, 26.10.2021

Angeschaut habe ich ihn mir nochmal, aber sehe wirklich nicht, worauf du hinaus möchtest.

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21:45 Uhr, 26.10.2021

Angeschaut habe ich ihn mir nochmal, aber sehe wirklich nicht, worauf du hinaus möchtest.

rundblick aktiv_icon

21:53 Uhr, 26.10.2021

.
"aber sehe wirklich nicht, worauf du hinaus möchtest."

ja Entwarnung .. :-) - keine Probleme!

. .

.
.

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22:01 Uhr, 26.10.2021

Da bin ich ja ausnahmsweise beruhigt.
Ist also in Ordnung alles in allem? Argumentativ, strukturell etc.?
Dennoch schon mal, vielen Dank! :-)

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06:30 Uhr, 27.10.2021

"wie ist denn das zu lesen und zu verstehen ?? .. nur 2 Elemente in der Menge

L

?"

Dass du als Profi diese Notation nicht kennst, erstaunt mich.
Sie ist doch gang und gäbe.
Oder stammst du noch aus der alten Schule, die nur eckige Kalmmern verwendet
bzw. erlaubt?

HAL9000

11:19 Uhr, 27.10.2021

(0, \frac{2}{3})

als Zweiermenge zu verstehen muss wohl ganz alte Schule sein - üblicherweise würde man eine solche Zweiermenge als

{0, \frac{2}{3}}

aufschreiben.

Die Intervallschreibweise mit runden Klammern dürfte allenfalls dann für Irritationen sorgen, wenn im gleichen Kontext mit geordneten Paaren

(x, y)

hantiert wird - was hier aber nicht der Fall ist.

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