Bewegungsgleichungen

Diese Frage wurde mir per PM gesendet:

Die Aufgabenstellung lautet:

Um 8:00 Uhr fährt ein Auto mit 80 km/h in das 520 km entfernte B-Dorf los, 100 Minuten später dort ein Auto mit 65 km/h in Richtung A-Stadt.
Wann und wo begegnen sich die beiden Fahrzeuge, wenn sie die selbe Straße benutzen?
Zeichnerische und rechnerische Lösung.

Zeichnerische Lösung (siehe Zeichnung)

Rechnerische Lösung:

Bei dieser Aufgabe müssen die Bewegungen der Autos als zwei Gleichungen geschrieben werden. Der Schnittpunkt ist dann der Treffpunkt:

Die Steigung der Geraden ist die Geschwindigkeit der Autos also 80 km/h und -65 km/h (negativ, da sich dieses Auto in entgegengesetzter Richtung bewegt).

Es empfiehlt sich hierbei noch in km/min umzuformen! (m1 = 4/3 km/min ; m2= -13/12 km/min)

Da die Geschwindigkeiten konstant sind, also keine beschleunigte Bewegung vorliegt, haben die Bewegungsgleichungen die Form

x=m*t+c (Zeit-Ort-Funktion, siehe Zeichnung)

wobei die jeweilige Steigung m bereits bekannt ist.

Der y-Achsenabschnitt "c" kann bei dem ersten Auto gleich 0 angenommen werden, da 8:00 (0 min) sowie 0 km unser Ausgangspunkt sein soll.

Beim zweiten Auto hat man den Anfangspunkt (mit den Koordinaten t=100min ; x=520km) sowie die Steigung gegeben! Daraus lässt sich durch Umstellung (von x=mt+c zu c=x-mt) "c" errechnen.

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=520\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-(\frac{-13\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*100\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=628\frac{1}{3}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Unsere zwei Bewegungsgleichungen lauten also:

${\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-13\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+628\frac{1}{3}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, diese beiden Gleichungen gleichsetzen und nach "t" auflösen:

${\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-13\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+628\frac{1}{3}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \frac{29\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{12\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=628\frac{1}{3}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\\ \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=260\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}20\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Rightarrow 12:20\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

Um den entsprechenden Ort zu bestimmen, 260min einfach in eine der beiden Gleichungen einsetzten und x errechnen:

${\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*260\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=346\frac{2}{3}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

Die beiden Autos treffen sich also um 12:20 Uhr bei 346,67km (von A-Stadt aus)!

Die Zeichnung sollte einiges verdeutlichen ...

Hoffe geholfen zu haben^^

An der Stelle an der ich "c" berrechne, muss die darauffolgende Gleichung natürlich mit "c=" anstelle von "x=" beginnen. Leichtsinnsfehler ...