Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Beweis Additionstheoreme: TAN(x + y) = (TAN(x) + T

Beweis Additionstheoreme: TAN(x + y) = (TAN(x) + T

Schüler

Tags: Additionstheorem, Tangent

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
italia

italia aktiv_icon

18:21 Uhr, 29.10.2016

Antworten
Wollte fragen, ob das bis jetzt richtig ist und die Klammern auch richtig gesetzt wurden. Außerdem wollte ich fragen, wie ich es nun zeigen kann, dass die Aussage gilt.

tan(x+y)=sin(x+y)cos(x+y)

Nun gilt for sin(x+y):

sin(x+y)=sin(x)⋅cos(y)+sin(y)⋅cos(x)
sin(x+y)=(cos(x)⋅cos(y))⋅(sin(x)⋅cos(y)cos(x)⋅cos(y)+sin(y)⋅cos(x)cos(x)⋅cos(y))
sin(x+y)=(cos(x)⋅cos(y))⋅( tan(x)⋅ +tan(y))

Nun gilt for cos(x+y):

cos(x+y)=cos(x)⋅cos(y)-sin(x)⋅sin(y)
cos(x+y)=(cos(x)⋅cos(y))⋅(cos(x)⋅cos(y)cos(x)⋅cos(y)-sin(x)⋅sin(y)cos(x)⋅cos(y))
cos(x+y)=(cos(x)⋅cos(y))⋅(1-tan(x)⋅tan(y))

d.h.

tan(x+y)=tan(x)+tan(y)1-tan(x)⋅tan(y)






www.mathelounge.de

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:37 Uhr, 29.10.2016

Antworten
> Wollte fragen, ob das bis jetzt richtig ist und die Klammern auch richtig gesetzt wurden.
Ja, schaut gut aus. Die Klammer um den Term cos(x)⋅cos(y) ist nicht falsch, aber unnötig, da es sich ja ohnedies um ein Produkt handelt.
Für einfache Argumente wie bei tan(x) ist auch die Kurzschreibweise tanx zulässig, da sich aber auch die Angabe der vollständigen Schreibweise bedient, bist du natürlich auf der sicheren Seite, wenn du das auch machst.

> Außerdem wollte ich fragen, wie ich es nun zeigen kann, dass die Aussage gilt.
???? Das hast du doch gerade gemacht - du hast das Additionstheorem für tan(x+y) hergeleitet! Jedenfalls, wenn du tatsächlich die verwendeten Additionstheoreme für sin und cos als gegeben voraussetzen darfst.
Was hattest du dir unter "zeigen, dass die Aussage gilt" vorgestellt?
italia

italia aktiv_icon

18:44 Uhr, 29.10.2016

Antworten
ich habe gedacht, dass man am Ende noch etwas einsetzen muss. Wie müsste ich denn es sonst schreiben, wenn man die verwendeten Additionstheoreme für sin und cos nicht als gegeben voraussetzen darf. Könntest du es für mich tun?
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:16 Uhr, 29.10.2016

Antworten
> ich habe gedacht, dass man am Ende noch etwas einsetzen muss.
Nein, du bist von tan(x+y) ausgegangen und hast diesen Ausdruck schrittweise umgeformt, sodass am Ende der Rechtsterm aus der Angabe rauskam. Damit ist der Zusammenhang nicht nur gezeigt, sondern sogar hergeleitet.

> Wie müsste ich denn es sonst schreiben, wenn man die verwendeten Additionstheoreme für sin und cos nicht als gegeben voraussetzen darf.
Dann müsstest du die eben auch vorher noch schnell herleiten.
Die Herleitung des Additionstheorems für tan wird üblicherweise genau so gemacht, wie du das ausgeführt hast, die Herleitung der Summensätze für sin und cos erfolgen üblicherweise über geometrische Überlegungen wie zB hier
→ www.mathepedia.de/Additionstheoreme.aspx
oder hier
→ www.essichnet.de/download/bewaddt.pdf

R