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Beweis-Aufgabe zu Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Farbenfroh aktiv_icon

14:37 Uhr, 28.07.2015

Hallo!
Folgende Aufgabe:
Es sei (G,*) eine Gruppe mit neutralem Element e.
Beweisen oder widerlegen sie:
a) Für alle

a, b \in G

gilt:

(a * b)^{- 1} = a^{- 1} * b^{- 1}

b) Für alle

a, b \in G

gilt:

(a * b)^{- 1} = b^{- 1} * a^{- 1}

c) Falls

a * a = e

für alle

a, b \in G

, so ist

G

abelsch

Kann ich jetzt ein folgendes Gegenbeispiel konstruieren oder muss ich das irgendwie allgemeiner zeigen?
Würde jetzt einfach sagen:

Gegenbeispiel zu a)
Sei

G = ℚ

mit

+

als Verknüpfung und seien

a = 1, b = 2 \in G

dann gilt:

(a + b)^{- 1} = 3^{- 1} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 1^{- 1} + 2^{- 1} = a^{- 1} + b^{- 1}

b) würde dann ja anlog dazu gehen.

c) noch keine Beweis-Idee

Kann ich das so machen?? Oder wie muss ich ansonsten vorgehen?
Ich bedanke mich im Vorfeld

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

15:11 Uhr, 28.07.2015

Hallo,

zuallererst musst Du Dir überlegen, was

x^{- 1}

bedeutet, wenn die die Gruppe

(ℚ, +)

ist.

Gruß pwm

Farbenfroh aktiv_icon

15:45 Uhr, 28.07.2015

Also das neutrale Element wäre ja

\frac{0}{0}

also muss gelten für

x = 2 :

\frac{2}{1} + x^{- 1} = \frac{0}{0}

also wäre

x^{- 1} = - \frac{2}{1}

Ok dann gilt für a=1, b=2:

(a + b)^{- 1} = - 3 = - 1 + (- 2) = a^{- 1} + b^{- 1}

Danke für den Hinweis!
Da es für den Fall stimmt, vermute ich mal, dass die Aussage allgemeingültig ist. Aber wo setze ich an um das zu beweisen?

michaL aktiv_icon

16:10 Uhr, 28.07.2015

Hallo,

guter Schluss!

Übrigens: Beweise oder widelege, dass alle ungeraden natürlichen Zahlen

n > 1

Primzahlen sind!
Geht ganz genauso!

Mfg Michael

Farbenfroh aktiv_icon

16:25 Uhr, 28.07.2015

War das ein Wink mit dem Zaunpfahl, dass man doch ein einfaches Gegenbeispiel finden kann?? Wie bei der von dir erwähnten Primzahl-Aufgabe?

Habe es jetzt mit mehreren Möglichkeiten durchprobiert und habe bisher kein Gegenbeispiel finden können.

michaL aktiv_icon

16:34 Uhr, 28.07.2015

Hallo,

deine Gruppe ist kommutativ! In kommutativen Gruppen gilt natürlich

a * b = b * a

und damit auch

a^{- 1} * b^{- 1} = b^{- 1} * a^{- 1}

.
Insofern kannst du unter kommutativen Gruppen nicht fündig werden. Einfache Gegenbeispiele werden üblicherweise in der Vorlesung angesprochen. Ansonsten suche halt selbst eine nicht kommutative Gruppe. Dann darfst du aber kein Element verwenden, dass mit allen vertauscht (neutrales Element etwa). Die Menge alle 2x2-Matrizen mit der üblichen Matrizenmultiplikation bilden eine nicht kommutative Gruppe.

Mfg Michael

Farbenfroh aktiv_icon

17:46 Uhr, 28.07.2015

Okay ich weiß jetzt wie ich b) beweisen kann:

(b^{- 1} * a^{- 1}) * (a * b) = b^{- 1} * (a^{- 1} * a) * b = b^{- 1} * b = e

Das bedeutet, dass

(b^{- 1} * a^{- 1})

das inverse Element zu

(a * b)

also

(a * b)^{- 1}

ist!

Gut.. Aussage a) ist allerdings nur bei abelschen Gruppen wahr. Jetzt stellt sich mir aber immer noch die Frage nach einer Gruppe, die nicht abelsch ist :/
Gibt es da irgend ein Beispiel außer der Vektor-Multiplikation? (Vektoren haben wir in dem Modul überhaupt nicht behandelt weshalb ich vermute, dass es noch eine andere Lösung geben muss)

EDIT:
Wenn ich mir eine eigene Verknüpfungstabelle mache müsste das gehen, oder?
Habe bisher 2 erstellt, sind bei mir aber immer kommutativ geworden.
Muss so eine Verknüpfungstabelle eine mindest-Anzahl an Elementen haben damit sie nicht-kommutativ werden kann?

michaL aktiv_icon

19:32 Uhr, 28.07.2015

Hallo,

> Muss so eine Verknüpfungstabelle eine mindest-Anzahl an Elementen haben damit sie nicht-kommutativ werden
> kann?

Mindestens 6. Die

S_{3}

ist (mit der üblichen Hintereinanderausführung als Verknüpfung) die kleinste nicht kommutative Gruppe.

Mfg Michael

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