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Beweis: Fußball aus 12 Fünfecken,20 Sechsecken
Universität / Fachhochschule
Tags: fünfeck, Polyeder, polyedersatz, Sechseck
 
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Hallo! Ein Fußball besteht ja aus Fünfecken und Sechsecken. Die Anordnung ist an sich auch klar. Der Eulersche Polyedersatz besagt ja, dass Mit diesem (und der Anordnung der Fünf-bzw Sechsecke) will ich nun beweisen, dass das Polyeder "Fußball" genau Fünfecke und Sechsecke hat. Hat dazu jemand eine zündende Idee wie ich das verbinde? Danke für Ideen und Lösungsansätze! Gruß :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das war mal in den 1980er Jahren eine Aufgabe im Bundeswettbewerb Mathematik (und dort hatte man eine wichtige Voraussetzung vergessen). Man braucht eine zusätzliche Voraussetzung, beispielsweise, dass an jede Ecke genau zwei Sechsecke und ein Fünfeck zusammenstoßen. Sei die Anzahl der Fünfecke, die der Sechsecke. Dann hat man (1) (2) (3) (4) (5) Diese 5 Gleichungen in 5 Unbekannten führen auf die gesuchte Lösung. |
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Hallo hagman! Danke für deine Antwort. Man kommt mit den Gleichungen in der Tat auf die Lösung aber woher nimmst du die Gleichungen? Die erste ist klar, dass sich die Gesamtanzahl der Flächen aus denen der Fünf-und Sechsecke zusammensetzt. Hast du die Gleichungen quasi "rückwärts" erstellt oder bist du lediglich über "abzählen" an einer Zeichnung darauf gekommen? . |
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Stimmt hätte ich sagen sollen: Jede Fläche ist entweder 5eck oder 6eck Ich zähle die "Kante-Fläche-Inzidenzen" auf zwei Weisen: Jedes 5eck inzidiert mit 5 kanten, jedes 6eck mit 6 Kanten. Umgekeht inzidiert jede Kante mit zwei Flächen. Ich zähle die "Ecke-5eck-Inzidenzen": Jede Ecke inzidiert mit genau einem 5eck, umgekehrt jedes 5eck mit genau 5 Ecken. Ich zähle die "Ecke-6eck-Inzidenzen": Jede Ecke inzidiert mit genau 2 6ecken, umgekehrt jedes 6eck mit genau 6 Ecken. ist natürlich der Polyedersatz |
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Super, dann hatt ich´s sogar richtig aufgeschrieben! Vielen Dank! :-) |
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