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Beweis Gruppe abelsch, wenn Ordnung Primzahlpotenz
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsch, Gruppen, Ordnung, Zentralisator, Zentrum einer Gruppe
 
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Hallo zusammen, ich komme bei einem Beweis nicht weiter. Anfangs hatte ich eine Idee, aber als ich nochmals draufgeschaut habe, hat mein Geschreibsel keinen Sinn mehr ergeben. Da mir jedoch nichts besseres eingefallen ist, wollte ich euch mal nach einer Idee fragen: G - Gruppe, ord(G) = , wobei p prim Zu zeigen ist: G ist abelsch Es ist als Hinweis gegeben, dass man folgende Aussagen verwenden soll: 1.G {e}, G endliche Gruppe, ord(G) = , p prim, . Dann ist Z(G) {e}, wobei Z(G) = {: ax = xa für alle } das Zentrum von G ist. 2. G - Gruppe, G/Z(G) zyklisch. Dann ist G = Z(G) und G ist abelsch. (Hierbei ist G/Z(G) wohl die Quotientengruppe). Zu meinem Beweis: Mithilfe der 1. Aussage konnte ich aus den Voraussetzungen schlussfolgern, dass Z(G) {e}. Ab da komme ich nicht mehr weiter. Ich habe zunächst überlegt, ob ich über die Ordnung argumentieren kann. Sprich, wenn ich zeigen kann das ord(Z(G)) = , muss ja Z(G) = G sein, womit dann (so halb nach der 2. Aussage... bzw. eher nach Definition von Z(G)) die Kommutativität folgt. ord(Z(G)) kann ja entweder p oder sein, da Z(G) ein Normalteiler und damit eine Untergruppe von G ist und somit die Ordnung von Z(G) ein Teiler von G sein muss (1 fällt weg, da Z(G) {e}). Dann habe ich überlegt, ob ich über den Zentralisator gehen kann. Z(G) müsste ja eine Teilmenge jedes Zentralisators sein. Mit diesem Ansatz bin ich aber nicht weiter gekommen. Leider habe ich auch keine Idee, wie ich zeigen könnte, dass G/Z(G) zyklisch ist. Dann wäre der Rest ja eine sture Anwendung der 2. Aussage. Hoffe, von euch hat einer eine Idee! Vielen Dank schon mal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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