Beweis Invertierbarkeit regulärer Matrizen

Regülare Matrizen haben eine Determinante ungleich 0 und sind quadratisch. Immer wenn eine Determinate ungleich null ist, ist eine quadratische Matrix auch invertierbar, da man dann die Determinantenformel anwenden kann in der 1/det(A) geteilt wird[daher halt nur für Matrixen die regülar sind] Eine reguläre Matrix führt bei Transponierung immer in eine Regülare Matrix

bei zweitens kann man sich das ganz einfach zeigen in dem du mal eine Matrix zb A(2x2) mit unbestimmten koeffizienten transponierst und und invertsiert und anders rum.

A=${\displaystyle \begin{array}{cc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

A^-1 ist

${\displaystyle \begin{array}{cc}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

A^T=

${\displaystyle \begin{array}{cc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

(A^T)^-1

=

${\displaystyle \begin{array}{cc}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

und ist gleich(A^-1)^t

PS: die Determinantenformel lautet: Inverse=(1/det(A)) * Adjunkte von [A]

Die Detminantenformel gilt für jede reguläre Matrix. Denn die Adjungierte Matrix einer kann ich auch von einer 3x3 Matrix bestimmten. Auch von einer 4x4 Matrix, dort ist es aber schon viel zu kompliziert, weshalb man eigenlich mittels Gausumformung arbeitet.

Eine Adjungierte Matrix ist eine Matrix die aus den Adjugngten jedes Elementes besteht:

Die machst du indem du die erste die Reihe und die Zeile des jeweiligen Elementes streichst und von dem Rest die Determinante bildest. Es ist für 3x3 Matrixen schon hinreichend aufwendig. Ab 5x5 Matritzen musst du zur dann

auch noch den Lapchlacen Entwicklungssatz verwenden und dder Aufwand steigt ins unermessliche, weshalb diese Art der Inversenbildung für Matrizen größer 2x2 nie betrieben wird