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Beweis Iteration konvergiert gegen Fixpunkt
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Rekursives Zählen
Tags: Fixpunkt, Fixpunktiteration, Folgen und Reihen, iteration, Iterationsverfahren, Rekursives Zählen
 
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Man betrachte eine Iteration für ein Modell, die mit einem Startwert startet, für alle ist wobei . Ich habe bereits gezeigt, dass in diesem Setting ein positiver Fixpunkt existiert. Nun soll ich zeigen, dass für alle Startwerte gilt. Ich dachte, man könnte eventuell den Abstand von zu abschätzen und zeigen, dass der kleiner ist als der Abstand von zu damit würden die dann ja gegen konvergieren. Ist der Ansatz überhaupt sinnvoll? Weil ich mit meinen Abschätzungen leider nicht wirklich weit gekommen bin, oder gibt es einen anderen sinnnvolleren Ansatz? Vielen dank und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, was heißt für dich > Ich habe bereits gezeigt, dass in diesem Setting ein positiver Fixpunkt x existiert. Inwiefern unterscheidet sich das für dich von > dass für alle Startwerte gilt. Heißt das, du hast noch nicht gezeigt, dass der Grenzwert "dieses Settings" unabhängig von ist? Mfg Michael PS: Kannst du nicht einfach einen Scan der Original-Aufgabenstellung anfügen? |
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1) Sollte Grenzwert existieren, so muss er die Gleichung erfüllen, das ist wohl mit "Fixpunkt" gemeint. Unter der Zusatzbedingung führt das zu . 2) Mit Startwert folgt aus der Rekursionsgleichung, dass die gesamte Folge positiv ist. 3) Aus folgt, dass die Folge entweder streng monoton wachsend oder aber streng monoton fallend ist. Was von beiden zutrifft, hängt vom Anfangswert ab: Im Fall ist , d.h. insgesamt streng monoton fallend. Im Fall ist , d.h. insgesamt streng monoton wachsend. Hier müsste man noch die Beschränktheit der Folge nach oben nachweisen, um sicher Konvergenz zu haben. Und ist , so ist die Folge sowieso konstant gleich . So könnte eine mögliche Strategie aussehen. Alternativ kann man auch die Differenzfolge betrachten und für diese nachweisen, dass sie eine Nullfolge ist. |
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Vielen Dank für die Antwort, das habe ich nun bis hier gut verstanden. Aber wir kann ich zeigen, dass der Grenzwert nun auch wirklich ist. Wenn ich nur die Beschränktheit der Folge zeige, habe ich in Kombination mit der Monotonie natürlich schon mal die Konvergenz, aber ja noch nicht die Konvergenz gegen den expliziten Grenzwert. Lieben Dank :-) |
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> Wenn ich nur die Beschränktheit der Folge zeige, habe ich in Kombination mit der Monotonie natürlich schon mal die Konvergenz, aber ja noch nicht die Konvergenz gegen den expliziten Grenzwert. Doch! Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert existiert, folgt durch Grenzübergang ja die Fixpunktgleichung , d.h., der Grenzwert MUSS Fixpunkt sein. Da es aber nur den einen positiven Fixpunkt gibt, muss der auch der Grenzwert sein! |
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Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, LG |
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