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Beweis: Menge der 2x2-Matrizen über R ein Körper

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

lap00g

23:12 Uhr, 22.02.2019

Hallo,

noch eine Aufgabe zu algebraischen Strukturen:

Es gilt zu zeigen, dass

K = {(\begin{array}{rcl} a & b \\ - b & a \end{array}) ∣ a, b \in ℝ}

bzgl. Matrizen-Addition und -Multiplikation ein Körper ist. Es ist bekannt, dass die Struktur ein Ring ist, was nicht bewiesen werden braucht.

In einem Ring ist (R,*) eine Halbgruppe, in einem Körper muss es eine abelsche Gruppe sein - wenn das gezeigt ist, handelt es sich um einen Körper.

Somit sind folgende Dinge nachzuweisen:
(i) neutrales Element bzgl. *
Das wäre in diesem Fall die 2x2-Einheitsmatrix.

(ii) inverses Element bzgl. *
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die

d e t \neq 0

ist. Die Determinante der gegebenen Matrix ist

a * a - (- b * b) = a^{2} + b^{2}

. In

ℝ

ist das Ergebnis der Determinante somit immer

\neq 0

(mit Ausnahme von a = b = 0, wobei gilt das

(ℝ ∖ {0}, *)

eine abelsche Gruppe sein muss), womit auch das inverse Element gezeigt wäre.

(iii) Kommutativität
A*A = A*A mit

A \in K

für dieses Beispiel, somit gilt auch Kommutativität.

Ist das so korrekt gezeigt? Gibt bessere/effizientere Methoden?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

23:34 Uhr, 22.02.2019

Hallo,
es ist nicht klar, worauf sich der Satz
"Es ist bekannt, dass die Struktur ein Ring ist, was nicht bewiesen werden braucht."
bezieht. Vermutlich wird als bekannt vorausgesetzt,
dass die Menge der

2 \times 2

-Matrizen ein Ring ist.
Wird wirklich gesagt, dass

K

ein Ring ist?
Bei dem Inversen musst du doch nicht nur zeigen, dass eine Nichtnull-Matrix
aus

K

invertierbar ist, sondern dass die Inverse wieder die Gestalt der Matrizen
aus

K

hat.
Deine Begründung der Kommutativität verstehe ich überhaupt nicht.
Du musst doch zeigen:

A_{1}, A_{2} \in K \Rightarrow A_{1} \cdot A_{2} = A_{2} \cdot A_{1}

;
denn

A^{2} = A^{2}

ist ja trivial und hat mit den besonderen Eigenschaften von

K

gar nichts zu tun.
Gruß ermanus

lap00g

15:15 Uhr, 23.02.2019

Hallo,

dass die Struktur ein Ring ist, ist aus der Angabe - da habe ich mich etwas schlecht ausgedrückt.

(ii) inverses Element
Ok, also da es es sich um eine 2x2-Matrix handelt, ist die Inverse:

A^{-1} = \frac{1}{det(A)} * (\begin{array}{rcl} a & - b \\ b & a \end{array})

.

Somit wäre das Inverse gezeigt.

(iii) Kommutativität
Stimmt, was ich geschrieben habe ist totaler Blödsinn.

A_{1} = (\begin{array}{rcl} a & b \\ - b & a \end{array})

A_{2} = (\begin{array}{rcl} c & d \\ - d & c \end{array})

A_{1}, A_{2} \in K

z.z.:

A_{1} * A_{2} = A_{2} * A_{1}

Dies kann man zeigen, in dem man einfach auf beiden Seiten die Matrixmultiplikation durchführt. Man sieht, dass die Kommutativät gegeben ist, da die Ausdrücke der einzelnen Einträge in der Matrix äquivalent sind.

Jetzt sollte es passen oder?

LG

ermanus aktiv_icon

15:40 Uhr, 23.02.2019

Zum Inversen:

A^{- 1} = . . . = (\begin{array}{cc} \tilde{a} & \tilde{b} \\ - \tilde{b} & \tilde{a} \end{array})

mit

\tilde{a} = \frac{a}{\det (A)}, \tilde{b} = - \frac{b}{\det (A)}

.
Nun sieht man, dass

A^{- 1}

wirklich die geforderte Gestalt hat.
Bei dem Einselement auch deutlich machen, dass die Einheitsmatrix die
geforderte Gestalt hat

(a = 1, b = 0)

.
Sonst ist alles OK :-)

lap00g

15:45 Uhr, 23.02.2019

Sehr gut, danke!

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