Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis Projektion ist "kürzester Abstand"

Beweis Projektion ist "kürzester Abstand"

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Skalarprodukt, Vektorraum

capstrovor aktiv_icon

13:49 Uhr, 19.06.2018

Hallo, ich muss folgende Aufgabe(n) lösen und bin mir nicht sicher, ob die Beweise richtig sind.

Gegeben: (V, < , >) ein endl. dimensionaler eukl. Vektorraum, U ein Unterraum von V.
Für

v \in V

definieren wir die orthogonale Projektion

P_{U} (v) \in V

von

v

auf U durch

1.

P_{U} (v) \in U

\forall u \in U : < v - P_{U} (v), u > = 0

Aufgabe a.) Zeige, dass

P_{U}

wohldefiniert ist.

Sei

u, u ʹ \in U : P_{U} (v) = u, P_{U} (v) = u ʹ .

\Rightarrow < v - u, x > = < v - u ʹ, x >

\Rightarrow < v, x > - < u, x > = < v, x > - < u ʹ, x >

\Rightarrow < u, x > = < u ʹ, x > \Rightarrow u = u ʹ

Damit sollte die Wohldefiniertheit gezeigt sein.

Aufgabe b.) Zeige, dass

P_{U}

eine Projektion ist, i.e.

P_{U} = P_{U}^{2}

Sei

u = P_{U} (v)

mit

v \in V

beliebig,

u ʹ = P_{U} (u)

\Rightarrow < v - u ʹ, x > = < v - u, x > \forall x \in U

\Rightarrow u ʹ = u

\Rightarrow P_{U} (v) = P_{U} (P_{U} (v))

Aufgabe c.) Zeige, dass

∣ ∣ P_{U} (v) - v ∣ ∣ = m i n (∣ ∣ u - v ∣ ∣ \forall u \in U)

Sei

u ʹ \in U

, sodass

∣ ∣ u ʹ - v ∣ ∣ = m i n (∣ ∣ u - v ∣ ∣ \forall u \in U)

Es gilt

V = U \oplus U^{⊥}

\Rightarrow v - u ʹ \in U^{⊥}

\Rightarrow < v - u ʹ, x > = 0 \forall x \in U

\Rightarrow < v - u ʹ, x > = < v - P_{U} (v), x >

\Rightarrow u ʹ = P_{U} (v)

q . e . d

Stimmen die Beweise so? Wäre klasse wenn da jemand drüber sehen könnte.

LG Samuel.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1431320

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?