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Beweis: S5 hat keine Untergruppe vom Index 3
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Index, Symmetrische Gruppe, Untergruppe
 
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Hallo, Ich suche einen Beweis, dass die (Symmetrische Gruppe) keine Untergruppe vom Index 3 hat. Mittels Suchfunktion habe ich folgendes gefunden: Angenommen wäre vom Index 3. Die Ordnung von g∈S5 selbst ist von vorneherein entweder 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder Falls g∈S5\U gilt, bleibt nur 3 oder 6 als Möglichkeit übrig, da g3∈U gelten muss und somit die Ordnung von durch 3 teilbar sein muss. Es müsste also genau 120−40=80 Elemente der Ordnung 3 oder 6 enthalten. Tatsächlich gibt es genau über 3)⋅2 der Ordnung 3 und über 3)⋅2 der Ordnung insgesamt also nur Kandidaten. Und zwar hier: http//www.onlinemathe.de/forum/Untergruppen-der-S5 Allerdings verstehe ich nicht wieso sein muss und ebensowenig wieso daraus folgen muss, dass die Ordnung von durch 3 teilbar sein muss. Ich habe leider überhaupt keine Idee wie man zu dieser Aussage kommt und wäre sehr dankbar für jeden Ansatz! Mfg |
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Was ich vielleicht noch sagen sollte, falls jemand eine andere Lösung hat, würde ich mich auch darüber freuen. Im Wesentlichem benötige ich nur einen Beweis, dass es keine Untergruppe vom Index oder 5 gibt. Also falls jemand zu einem anderem Index einen Beweis oder Ansatz hat, wäre das auch schon super. Lg |
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Habe nun eine Antwort: Dies gilt, weil der Index 3 ist . Wollte es nur posten, da ich immer frustriert bin, wenn ich was suche und keine Lösung dasteht. Lg |
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