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Beweis Teilbarkeitsregel 5 dr. Äuqivalenz P<=>Q

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Äquvivalenz, Teilbarkeitsregel

Laura82 aktiv_icon

02:30 Uhr, 04.01.2015

Ist folgende Lösung als Beweis für die Teilbarkeitsregel der 5 richtig? (Wir haben die Vorgabe mittels Implikation - abgeleitet aus der gegebenen Äquivalenz - zu arbeiten)

\frac{5}{n} \Leftrightarrow

letzte Ziffer von

n

ist 0 oder

\frac{5}{n}

Q \Rightarrow P

Voraussetzung: letzte Ziffer von

n

ist 0 oder

\frac{5}{n}

Behauptung:

\frac{5}{n}

n=xm xm-1

. .

x 1 x 2

(m, m - 1, 1

und 2 sollen tiefgestellt sein)
=xm xm-1

. .

x 1 \cdot 10 + x 0

(dito

+

ebenso die

0)

a)

die

10

ist durch 5 teilbar, weil

5 \cdot 2 = 10

b) x 0

ist nach Voraussetzung durch 5 teilbar

c)

xm xm-1

. .

x 1 \cdot 10

ist nach der Produktregel durch 5 teilbar (da ein Vielfaches von 5 auch dr. 5
teilbar ist)

d)

xm xm-1

. .

x 1 \cdot 10 + x 0

ist durch 5 teilbar (nach Summenregel)

in Schritt

a)

bin ich mir unsicher, ob das so reicht. Und dann müsste ich noch

P \Rightarrow Q

machen (das ist ja ähnlich nur umgedreht mit Differenzregel)

Vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

01:38 Uhr, 05.01.2015

Hallo
mit

\frac{5}{n}

meinst du 5 teilt

n

auch

5 | n

geschrieben
also

5 | n \Leftrightarrow

letzte Ziffer von

n

is 0 oder 5

1. letzte Ziffer 0 heisst

n = m \cdot 10, 10

ist durch 5 tb-

2 -

letzte Ziffer 5 heisst

n = k \cdot 10 + 5,

beide Summanden durch 5 tb

Umkehrung:

n

ist durch 5 tb wir schreiben

n = k \cdot 10 + r

mit

r \in (0,1, ... 9)

k \cdot 10

ohne Rest durch 5tb, also muss auch

r

durc 5 tb sein also

r = 5

oder 0
alldie Ziffern hinzuschreiben verwirrt nur!
Gruß ledum

Laura82 aktiv_icon

11:42 Uhr, 06.01.2015

Hallo ledum,

vielen Dank für deine Antwort.

Wir haben die Vorgabe das so zu machen wie ich es oben als Lösungsvorschlag hingeschrieben habe. Deshalb würde deine Antwort so nicht ausreichen.
Meine Frage war ja, ob das so ausreicht oder nicht. Ist deine Antwort vielleicht nur eine Ergänzung zu meinen Angaben?

Vielen Dank,
Laura

ledum aktiv_icon

01:08 Uhr, 07.01.2015

Hallo
Wenn ihr das wirklich so schreiben müsst wobei die

x_{i}

Ziffern von 0 bis 9 sind ist dein Beweis ok
ist es nicht vielleicht doch

n = \sum_{i = 0}^{n} x_{1} \cdot 10^{i}

a)

würde ich weglassen und bei dem was du

c

nennst erwähnen, dass

10 = 2 \cdot 5

ist, oder das direkt statt

10

hinschreiben, aber es als a vorauszustellen ist nicht falsch

Gruß ledum

Laura82 aktiv_icon

07:30 Uhr, 07.01.2015

Hallo ledum,

Super - herzlichen Dank!

-)

Laura

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