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Beweis am Parallelogramm
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 14:49 Uhr, 16.01.2007  |
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Hallo Ich hab einen Beweis zu führen und keine Ahnung wie man geometrische Beweise aufschreibt oder beweist. Also die Aufgabe ist: In einem Parallelogramm ABCD mit dem Schnittpunkt der Diagonalen sind die Dreicke ABS und BCS flächeninhaltsgleich. Kann mir bitte jemand Behauptung, Voraussetzung und Beweischritt sagen. Sonst krieg ich morgen ne 6. ;( DANKE jule |
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die dreiecke ABS und DCS sollen flächeninhaltsgleich sein SORRRRRRRRRRRRRRRRRRRY |
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Hallo! Also, ich versuch's mal nach deinem Schema Behauptung, Voraussetzung und Beweischritt aufzuschreiben... Behauptung: ABS und CDS sind flächeninhaltsgleich Voraussetzung: ABCD Parallelogramm daraus ergeben sich folgende Folgerungen: 1)ABCD Parallelogramm, d.h. Länge von AB = Länge von CD 2) S liegt genau auf der Mitte des Abstands der Strecke AB und der Strecke CD. Beweisschritt: Flächeninhalt eines Dreiecks:1/2*Grundseite*Höhe Flächeninhalt Dreieck ABS: Grundseite a, Höhe ha : F=1/2*a*ha Flächeninhalt Dreieck CDS: Grundseite c, Höhe hc : F=1/2*c*hc wegen Folgerung 1) gilt: a = c wegen Folgerung 2) gilt: ha = hc Also: F_ABS = 1/2*a*ha = 1/2*c*hc = F_CDS Damit wäre die Aussage bewiesen. Hast du alles verstanden? Oder gibts irgendwo Fragen? Wenn ja, an welcher Stelle? |
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anonymous 15:22 Uhr, 16.01.2007 |
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Hallo Julia, brauchst Dich nicht entschuldigen, aber bist Du sicher, daß Du tatsächlich die Flächengleichheit von ABS und DCS zeigen sollst, denn die ist m.E. leichter zu zeigen als die von ABS und BCS? Ich benutze mal die Bzeichnungen, wie sie üblich und hier dargestellt sind: de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm Das einzige was dort fehlt, ist das S als Schnittpunkt der Diagonalen, aber das kann man sich leicht merken. Also nun zum Beweis: Die Seiten a und c liegen auf parallelen Geraden und sind per definieion eines Parallelogramms gleich lang. Die Winkel des Dreickes ABS und die des Dreiecks DCS sind gleich groß: Winkel(BAC) und Winkel(ACD) sind gleich groß, weil es Winkel an geschnittenen Parallelen sind (Wechselwinkel, siehe de.wikipedia.org/wiki/Wechselwinkel#Wechselwinkel_oder_Z-Winkel ) Winkel(ABD) und Winkel(BDC) sind gleich groß, weil es Winkel an geschnittenen Parallelen sind (Wechselwinkel, siehe de.wikipedia.org/wiki/Wechselwinkel#Wechselwinkel_oder_Z-Winkel ) Winkel(ASB) und Winkel(CSD) sind gleich groß, weil es scheitelwinkel sind. Für die Dreiecke ABS und DCS gilt, daß sie kongruent sind (siehe de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzs%C3%A4tze ). Kongruente Dreiecke sind immer flächengleich. Für den Fall, daß Dein Nachtrag falsch ist hier noch der Beweis, daß ABS und BCS flächengleich sind. Zunächst muß man genauso wie oben zeigen, daß die Dreiecke ABS und DCS kongruent sind. Damit haben sie nicht nur gleiche Flächen (was wir eben benutzt haben), sondern sie haben vor allem alle drei Seiten gleich lang! Damit gilt insbesondere: |AS| = |SC| = 1/2*|AC| Betrachten im Dreieck die wir die Höhe h'a im Punkt S, dann gilt wegen dem Strahlensatz (Zentrum A, parallele Geraden sind h'a und ha, wobei h'a das Lot von S auf a ist und ha das Lot von C auf a bzw. der Verlängerung vona): h'a/|AS| = ha/|AC| h'a = ha/|AC| * |AS| h'a = ha/|AC| * 1/2*|AC| h'a = 1/2 * ha Für das Dreieck ABC gilt die Flächenformel: A(ABC) = 1/2*a*ha Für das Dreieck ABS gilt die Flächenformel: A(ABS) = 1/2*a*h'a = 1/2*a*1/2*ha = 1/2 * (1/2*a*ha) = 1/2 * A(ABC) Für das Dreieck BCS gilt die Flächenformel: A(BCS) = A(ABC) - A(ABS) = A(ABC) - 1/2*A(ABC) = 1/2*A(ABC) = A(ABS) PS: Ich hab' vorm "Antwort eintragen" noch mal ein Refresh auf die Frage gemacht, da war Sams schneller, aber da Sams den zweiten Teil nicht mit gemacht hat, ändere ich mal nichts am vorhergehenden Text |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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