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Beweis, dass einer Vektornorm

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Norm, Vektor

Yarlon aktiv_icon

09:02 Uhr, 11.03.2019

Hallo zusammen,

ich habe ein riesen Problem bei der Lösung einer Aufgabe, bei der ich den Nachweis einer Vektornorm erbringen soll.

Der erste Teil der Aufgabe (Cholesky-Zerlegung) ist kein Problem.
Bei

b)

habe ich allerdings nicht den Hauch einer Ahnung wie ich das angehen soll.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen.

Vielen Dank im Voraus!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

09:17 Uhr, 11.03.2019

Hallo,

- Wie ist eine Vektornorm definiert? Welche Eigenschaften sind also für

{| | . | |}_{A}

zu prüfen?

- Wie ist

{| | . | |}_{1}

definiert? Darf vorausgesetzt werden, dass

{| | . | |}_{1}

eine Norm definiert?

Wenn Du das geklärt hast, ist die Aufgabe komplett simpel.

Gruß pwm

Yarlon aktiv_icon

09:25 Uhr, 11.03.2019

Guten Morgen pwmeyer,
Vielen Dank für Deine Antwort.

Grundsätzlich muss für eine Norm die Definiheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gelten oder?

Die ||.||_1-Norm ist folgendermaßen definiert?

{(\sum {| x_{i} |}^{p})}^{\frac{1}{p}}

und da hier

p = 1

fällt der Exponent weg.

Leider weiß ich trotzdem nicht, wie ich das an der Stelle beweisen soll.

pwmeyer aktiv_icon

10:31 Uhr, 11.03.2019

Hallo,

für die DreiecksUngleichung musst Du doch eine Beziehung herstellen zwischen

{| | x + y | |}_{A} = {| | A (x + y) | |}_{1}

und

{| | x | |}_{A} + {| | y | |}_{A} = {| | A \cdot x | |}_{1} + {| | A \cdot y | |}_{1}

Wie könnte das gehen? Warum habe ich Dich gefragt, ob bekannt ist, dass

{| | . | |}_{1}

eine Norm ist

Gruß pwm

Yarlon aktiv_icon

10:51 Uhr, 11.03.2019

Hallo pwm,

mein Problem ist, dass mir für sowas das Grundverständis fehlt.

Wie die Dreiecksungleichung definiert ist, kann ich nachlesen, aber mir fehlt ein Anhaltspunkt wie ich in solchen Fällen vorgehen muss, um sowas zu beweisen.

Grundsätzlich würde ich versuchen wollen die Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung beweisen zu wollen. Dann sollte ja gelten, dass es sich um eine Norm handelt und die Aufgabe ist gelöst?

Es wäre super lieb, wenn du mir den Lösungsweg einmal geben würdest. Ich erhoffe mir daran ableiten zu können, wie ich in solchen Fällen vorgehen muss.

Viele Grüße

pwmeyer aktiv_icon

12:39 Uhr, 11.03.2019

Hallo,

der Beweis der Dreiecksunngleichung steht doch schon praktisch da:

Für

x, y \in ℝ^{3}

gilt:

{| | x + y | |}_{A} = {| | A \cdot (x + y) | |}_{1} = {| | A \cdot x + A \cdot y | |}_{1} \leq {| | A \cdot x | |}_{1} + {| | A \cdot y | |}_{1} = {| | x | |}_{A} + {| | y | |}_{A}

Dabei habe ich in der Mitte die Dreiecksungleichung für die Norm

{| | . | |}_{1}

benutzt.

Gruß pwm

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12:42 Uhr, 11.03.2019

Vielen Dank!

Damit ist die Aufgabe fertig oder muss ich die Definitheit und die Homogenität auch beweisen?

ermanus aktiv_icon

17:28 Uhr, 11.03.2019

Hallo,
die Homogenität ist simpel, aber die Definitheit ist wesentlich;
denn in ihr kommt es schon auf eine bestimmte Eigenschaft der Matrix

A

an.
Bei dem Nachweis der Dreiecksungleichng konnte

A

ja beliebig sein.
Gruß ermanus

Yarlon aktiv_icon

20:23 Uhr, 11.03.2019

Hallo erasmus,

könntest du mir bitte trotzdem einen Beweis für die Homogenität nennen? Für mich persönlich ist das leider nicht so einleuchtend.

Die Definitheit muss also garnicht bewiesen werden?

ermanus aktiv_icon

21:07 Uhr, 11.03.2019

Da hast du mich gründlich missverstanden: die einzige Norm-Eigenschaft,
in die eine Eigenschaft der Matrix

A

eingeht, ist die Definitheit.
Deswegen musst du gerade sie beweisen.
Homogenität ist doch ein absoluter Selbstgänger:

{∣ ∣ λ \cdot x ∣ ∣}_{A} = {∣ ∣ A (λ x) ∣ ∣}_{1} = {∣ ∣ λ (A x) ∣ ∣}_{1} = ∣ λ ∣ \cdot {∣ ∣ A x ∣ ∣}_{1} = ∣ λ ∣ \cdot {∣ ∣ x ∣ ∣}_{A}

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21:15 Uhr, 11.03.2019

Hallo erasmus,

Tut mir leid, dass habe ich dann tatsächlich missverstanden.

Wie beweise ich denn die Definitheit?

ermanus aktiv_icon

21:49 Uhr, 11.03.2019

Du möchtest doch

{∣ ∣ x ∣ ∣}_{A} = 0 \Rightarrow x = 0

beweisen, richtig?
Dann benutze die Definition von

{∣ ∣ . ∣ ∣}_{A}

und versuche es hinzubekommen. Ein bisschen was musst du schon
selber machen. Es ist wirklich nicht schwer, da du doch die
Definitheit von

{∣ ∣ . ∣ ∣}_{1}

benutzen kannst.

Yarlon aktiv_icon

21:58 Uhr, 11.03.2019

Sorry, ich habe keine Idee, wie ich da anfangen soll bzw. wie man generell bei so Beweisen vorgeht.

Ich komme aus dem Ingenieursbereich und wir müssen im Master Numerik machen und bei sowas steige ich komplett aus

ermanus aktiv_icon

22:30 Uhr, 11.03.2019

{∣ ∣ x ∣ ∣}_{A} = 0

bedeutet nach Definition

{∣ ∣ A x ∣ ∣}_{1} = 0

.
Nun ist aber die 1-Norm als Norm positiv definit, also
folgt

A x = 0

. Nun sollst du daraus auf

x = 0

schließen.
Welche Eigenschaft muss

A

besitzen, dass

A x = 0 \Rightarrow x = 0

gilt?

Yarlon aktiv_icon

07:04 Uhr, 12.03.2019

Bei der 1-Norm addiere ich doch alle Einträge miteinander?
Müsste dann die Summe der Einträge

= 0

sein?

ermanus aktiv_icon

08:00 Uhr, 12.03.2019

Ja natürlich, sonst wäre die 1-Norm ja gar keine Norm.
Also ist

A x = 0

, aber warum folgt daraus, dass dann auch

x = 0

ist?

Yarlon aktiv_icon

08:14 Uhr, 12.03.2019

Das kann ich dir nicht beantworten.
Ins blaue geraten, würde ich sagen, dass

x = 0

ist, weil die Definitheit ja so definiert ist. Also

| | x | | = 0; x = 0

ermanus aktiv_icon

08:17 Uhr, 12.03.2019

Meinst du die Definitheit von

A

Yarlon aktiv_icon

08:20 Uhr, 12.03.2019

Ja, in dem konkreten Fall ja, aber weshalb dann

x = 0

sein muss leuchtet mir nicht ein

ermanus aktiv_icon

08:27 Uhr, 12.03.2019

Also nach a) hat die Cholesky-Zerlegung geklappt,
also ist

A

positiv definit, insbesondere also invertierbar,
d.h. es existiert

A^{- 1}

. Folglich:

A x = 0 \Rightarrow x = (A^{- 1} A) x = A^{- 1} (A x) = A^{- 1} 0 = 0

.
Guck dir das Ganze noch mal genauer an. Bei dir geht da wohl
noch so Einiges durcheinander. Ein bisschen mehr Theoriekenntnis
ist hier angesagt ;-)
Die Grundlagen der linearen Algebra sind im Ingenieurstudium
an vielen Stellen von erheblicher Wichtigkeit.
Gruß ermanus

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