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Beweis dass es nicht mehr Häufungspunkte gibt
Schüler
Tags: Folgen, Häufungspunkt, Konvergenz
 
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Die Folge a_n ist so definiert: Die zwei Häufungspunkte 2 und 1/2 kann ich nachvollziehen. Wie kann man beweisen, dass es jedoch die einzigen Häufungspunkte sind? Eine Teilfolge könnte bspw. 1, 2, 5, 7, 8, 10 lauten, also gerade und ungerade Zahlen "bunt" gemischt, sprich, für mich (intuitiv) schließen Teilfolgen für gerade n und ungerade n (jeweils exklusive) nicht eine mit gerade und ungeraden n aus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, dass es keinen weiteren Häufungspunkt gibt ist eifach zu beweisen. Hier nur kurz eine Beweisskizze: Die beiden bekannten Häufungspunkte sind Grenzwerte der angegebenen Zerlegung in zwei Teilfolgen. Jede andere (unendliche) Teilfolge lässt sich analog in zwei, ich nenne es mal Teilteilfolgen zerlegen, die wiederum Teilteilfolgen der beiden gegebenen Teilfolgen sind. Als Teilfolgen haben auch diese Teilteilfolgen den selben Grenzwert, wie die gegebenen Teilfolgen, soweit der Grenzwert dieser Teilteilfolgen existiert, denn eine der beiden Teilteilfolgen könnte eine endliche Folge sein. Der Grenzwert aber besagt, dass dann zu jedem positiven nur noch endlich viele Folgenglieder ausserhalb der epsilon-Umgebung liegen können. Das gilt für beide Teilteilfolgen der Zerlegung und damit liegen nur endlich viele Folgenglieder der gewählten Teilfolge ausserhalb der beiden epsilon-Umgebungen um die beider gefundenen Häufungspunkte. Angenommen, es gäbe einen weiteren Häufungspunkt, so wählt man so klein, dass die epsilon-Umgebungen um die beiden gefundenen Häufungspunkte und den angenommenen Häufungspunkt disjunkt sind, dann liegen, wie oben gezeigt nur endlich viele Folgenglieder der Teilfolge nicht in den epsilon-Umgebungen der beiden gefundenen Häufungspunkte und damit höchstens endlich viele Folgenglieder in der epsilon-Umgebung des angenommenen Häufungspunktes. Damit hat man aber eine epsilon-Umgebung mit höchstens endlich vielen Folgengliedern dieser Teilfolge und das widerspricht der Definition eines Häufungspunktes. Damit war die Annahme falsch, dass es einen weiteren Häufungspunkt gibt. DasGanze darfst Du jetzt formell ordentlich aufarbeiten! |
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