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Beweis der Gleichheit von Mengen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Mengenlehre

muhmuhmilch aktiv_icon

13:25 Uhr, 30.01.2012

Guten Tag,

leider weiß ich bei der folgenden Aufgabe nicht wie man vorgehen soll:

A, B, C, D

seien beliebige Mengen. Beweisen Sie

(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)

und

A \ (B \cup C) = A \ B \cap A \ C

Vielen Dank für Tipps und Lösungsvorschläge im Voraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

13:29 Uhr, 30.01.2012

ganz einfach mit Venn-Diagrammen zeichnen :-)

lg

muhmuhmilch aktiv_icon

15:51 Uhr, 30.01.2012

Wir sollen das aber anders lösen hat jemand einen Vorschlag? Würde mich sehr freuen.

hagman aktiv_icon

16:15 Uhr, 30.01.2012

X = Y

für Mengen zu zeigen, zeige

x \in X \Leftrightarrow x \in Y

(Extensionalitätsaxiom!)
Werwende hier zudem

x \in (X \cup Y) \Leftrightarrow (x \in X \lor x \in Y)

und

x \in (X \cap Y) \Leftrightarrow (x \in X \land x \in Y)

(Definition von

\cup

bzw.

\cap)

muhmuhmilch aktiv_icon

15:06 Uhr, 31.01.2012

Tag Leute,

im Anhang befindet sich die Lösung, die ich leider nicht verstehe. Es wäre sehr nett, wenn jemand sie mir erklären könnte.

Vielen Dank im Voraus

hagman aktiv_icon

17:04 Uhr, 31.01.2012

Das ist genau der von mir beschriebene Weg. Welche Stelle verstehst du nicht?
Die einzelnen Äquivalenzen basieren in der angegebenen Reihenfolge auf

\cdot

Definition von

\cap

\cdot

Definition von

\cup

\cdot

Distributivgesetz der Aussagenlogik:

(p \lor q) \land r \leftrightarrow (p \land r) \lor (q \land r)

\cdot

Definition von

\cap

und

\cup

Bei der zweiten Teilaufgabe:

\cdot

Definition von

\

\cdot

Definition von

\cup

sowie Regel von deMorgan

\neg (p \lor q) \leftrightarrow (\neg p \land \neg q)

\cdot

Aussagenlogik (Assoziativgesetz und Idempotenz):

p \land (q \land r) \leftrightarrow (p \land q) \land (p \land r)

\cdot

Definition von

\

und

\cap

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