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Beweis der Kommutativität

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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ArmoredGatto

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22:14 Uhr, 05.03.2017

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Hallöchen alle miteinander!
Wir haben folgende Frage als Aufgabe bekommen:

Sei M eine beliebige Menge. Die Summe von zwei Abbildungen f,g:M → R sei punktweise definiert durch f+g:M → R, wobei x auf f(x)+g(x) abgebildet wird.
Zeige, dass dies kommutativ und assoziativ ist, d.h. f+g=g+f.

Könnte man die Kommutativität nicht einfach zeigen, indem man folgendermaßen vorgeht:

f+g=f(x)+g(x)=(f+g)(x)=(g+f)(x)=g(x)+f(x)=g+f.

Aber da verwendet man ja das zu Beweisende im Beweis (bei (f+g)(x) auf (g+f)(x)) oder verwendet man da einfach die allgemeine Kommutativität der Multiplikation? Weiß irgendwie nicht wie ich das in einen Beweis verpacken soll...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

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22:40 Uhr, 05.03.2017

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Hallo,

Du zäumst das Pferd sozusagen von hinten auf :-)

Ziel ist es zu zeigen, dass für zwei Abbildungen f und g gilt:
f+g=g+f(*).
Das ist eine Gleichung von Abbildungen.
Nun, zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie für jedes x
aus dem Definitionsbereich denselben Wert liefern, d.h.
wenn für alle x∈M gilt
(f+g)(x)=(g+f)(x)(**).
Nach Definition der Summe zweier Abbildungen gilt:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).
Das mittere Gleichheitszeichen gilt wegen der Kommutativität der
Addition in ℝ.
Entsprechend funktioniert es mit der Assoziativität ...
Gruß ermanus
ArmoredGatto

ArmoredGatto aktiv_icon

23:04 Uhr, 05.03.2017

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Danke! Das freut mich dass ich wenigstens nicht ganz den falschen Ansatz hatte.Und würde es für die Assoziativitär dann wie folgt aussehen?

Zu zeigen ist: f+(g+h)=(f+g)+h.

Wenn die Gleichheit gelten würde, dann wäre:

f(x)+(g+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)

das Gleiche. Und dies gilt, da

f(x)+(g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(f+g)(x)+h(x)

ist.
Antwort
ermanus

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23:15 Uhr, 05.03.2017

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Hallo ArmoredGatto,

Ja, so geht das. Du solltest aber ein paar Schritte einschieben, damit der
Leser Deiner Abhandlung erkennen kann, wo das Kernargument sitzt:
f(x)+(g+h)(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=(f+g)(x)+h(x),
wobei das mittlere Gleichheitszeichen wegen der
Assoziativität in ℝ (das ist Dein Kernargument!) gilt.

Übrigens: Deine ursprünglichen Gleichungen wie f+g=f(x)+g(x)
waren unsinnig; denn f+g ist eine Abbildung, aber f(x)+g(x) ist eine
reelle Zahl. Wie sollen diese beiden Dinge gleich sein?
Philosophen nennen so etwas einen Kategorienfehler ;-)

Gruß ermanus
Frage beantwortet
ArmoredGatto

ArmoredGatto aktiv_icon

23:25 Uhr, 05.03.2017

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Vielen Dank ermanus!

"Übrigens: Deine ursprünglichen Gleichungen wie f+g=f(x)+g(x)
waren unsinnig; "

Da hast du vollkommen recht, das fällt mir jetzt erst auf! Das wäre ja ein Schwachsinn geworden...