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Beweis der de Morgan'schen Gesetze

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: de Morgan'sche Regel, Mengenlehre

jaydeee aktiv_icon

11:27 Uhr, 04.10.2014

Hey Leute,

ich weiß, hier gibts schon Beiträge zum Thema und an denen habe ich mich auch orientiert - leider komme ich aber trotzdem nicht weiter und wäre sehr froh wenn mir jemand helfen könnte!

Die Mengen A und

B

sind Teilmengen von

X

und ich soll die de Morgan'schen Regeln zeigen:

X \ (A \cup B) = X \ A \cap X \ B

bzw.

X \ (A \cap B) = X \ A \cup X \ B

Ich hab das dann versucht, indem ich mit exemplarischen Zahlen arbeite:

A {1,2}; B {3,4}; X {1,2,3,4,5}

Bei der ERSTEN REGEL funktioniert das ganz gut, wenn man entsprechend einsetzt:

{5} = {3,4,5} \cap {1,2,5}

daraus folgt...

{5} = {5}

. .

. das wäre somit bewiesen, richtig?!

Aber dei der ZWEITEN REGEL stimmt die Sache dann nicht mehr:

{5} = {3,4,5} \cup {1,2,5}

daraus würde folgen...

{5} = {1,2,3,4,5}

. .

. oder täusche ich mich hier?! Aber Vereinigung von

{3,4,5} \cup {1,2,5}

meint doch jene Elemente, die in der ersten Menge sind oder in der zweiten (oder in beiden).
Und damit ist die zweite Regel ja nicht bewiesen?!

BITTE Leute, ich würde mich echt über Hinweise freuen, was ich hier übersehe?!?!

Liebe Grüße,

Hanni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

anonymous

13:23 Uhr, 04.10.2014

Etwas exemplarisch zu zeigen reicht hier nicht, da du ja dann nur EINEN Fall zeigst. Du sollst jedoch beweisen das die Regeln für ALLE Mengen

X

und Teilmengen

A, B

von

X

gilt.

Du hättest nämlich beispielsweise damit noch nicht gezeigt, dass die Regeln auch für

X = {x, %, {1, 2}, π, 13}

und

A = {x, π}

und

B = {%, π, 13}

gilt.

Und bei der zweiten Regel hast du außerdem den Fehler begangen, dass du nicht beachtet hast, dass nun auf der linken Seite

X \ (A \cap B) = {1, 2, 3, 4, 5} \ ({1, 2} \cap {3, 4}) = {1, 2, 3, 4, 5} \ \emptyset = {1, 2, 3, 4, 5}

statt

X \ {A \cup B} = {5}

stehen soll.

Aber wie bereis geschrieben: Dieses Beispiel kann man mal machen, um sich einen kleinen Überblick zu verschaffen, allerdings ist das hier noch lange kein Beiweis, da nicht alle Fälle abgedeckt werden!

Versuche also die Menge einfach allgemein zu lassen und arbeite mit den Definitionen.
Sei

X

eine Menge und seien A und

B

Teilmengen von

X,

dann ist definiert:

X \ Y = {x \in X | x \notin Y}

A \cap B = {x \in X | x \in A \land x \in B}

A \cup B = {x \in X | x \in A \lor x \in B}

Und versuche damit die linke Seite so lange umzuformen, bis die rechte Seite entsteht:

X \ {A \cap B}

= {x \in X | x \notin A \cap B}

= {x \in X | \neg (x \in A \cap B)}

= {x \in X | \neg (x \in A \land x \in B)}

= {x \in X | (\neg x \in A) \lor (\neg x \in B)}

= {x \in X | (x \notin A) \lor (x \notin B)}

⋮

= (X \ A) \cup (X \ B)

Alternativ kann man auch so arbeiten:

x \in X \ {A \cap B}

\Leftrightarrow x \in X \land x \notin A \cap B

\Leftrightarrow x \in X \land (\neg x \in A \cap B)

\Leftrightarrow x \in X \land (\neg (x \in A \land x \in B))

⋮

\Leftrightarrow x \in (X \ A) \cup (X \ B)

Und analog dann:

X \ {A \cup B} = ... = (X \ A) \cap (X \ B)

Die Pünktchen sind natürlich noch auszufüllen.

jaydeee aktiv_icon

19:10 Uhr, 04.10.2014

Vielen lieben Dank Kenkyu!!!
Werde mich morgen sofort darauf stürtzen und versuchen die AUfgabe so zu lösen!

Danke für die schnelle und ausführliche Antwort! - sehr lieb!

Liebe Grüße,

Hanni

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