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Beweis des Distributivgesetzes in alg. Strukturen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Distributivgesetz, Ring

SarahT aktiv_icon

14:12 Uhr, 23.01.2010

Hallo,

wir haben in unsrer Vorlesung das Distributivgesetz ganz allgemein für algebraische Strukturen bewiesen. Allerdings verstehe ich den Beweis nicht so ganz.

Wir haben dazu folgendes aufgeschrieben:

$F ü r (x_{1}, x_{2}), (y_{1,} y_{2}), (z_{1}, z_{2}) \in (X_{1} x X_{2}) g i l t : (x_{1,} x_{2}) * ((y_{1} {, y}_{2}) \circ (z_{1}, z_{2})) = (x_{1} * (y_{1} \circ z_{1}), x_{2} * (y_{2} \circ z_{2})) = ((x_{1} * y_{1}) \circ (x_{1} * z_{1}), (x_{2} * y_{2}) \circ (x_{2} * z_{2})) = (x_{1} * y_{1}, x_{2} * y_{2}) \circ (x_{1} * z_{1}, x_{2} * z_{2}) = ((x_{1} {, x}_{2}) * (y_{1}, y_{2}) \circ (x_{1}, x_{2}) * (z_{1}, z_{2}))$

meine Fragen:

1.) wieso kann man im Beweis des DG das DG an sich anwenden (eigentlich wird es ja schon in der ersten Zeile angewandt, oder nicht?)? Welchen Unterschied machen da die ganzen Klammern und das Umklammern aus?

und: wieso kann man die x,y und z einfach in die unterschiedlichen Klammern reinstecken und wieder rausholen?

Hoffe, jemand von euch kann mir weiterhelfen :-)

Wir haben den Beweis in ähnlicher Form für Matritzen, Restklassen und Abbildung geführt, aber dort stellt sich mir auch die gleiche Frage ...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

hagman aktiv_icon

15:02 Uhr, 23.01.2010

Aus dem Beweis schließe ich zurück auf die hier nicht genannten Voraussetzungen:
Offenbar sind

(X_{1}, ⋆_{1}, \circ_{1})

und

(X_{2}, ⋆_{2}, \circ_{2})

algebraische Strukturen mit zwei Verknüpfungen (bei dir in beiden Fällen einfach gleich mit

⋆ \circ

bezeichneten) Verknüpfungen, in denen jeweils das Distributivgesetz

x_{1} ⋆_{1} (y_{1} \circ_{1} z_{1}) = (x_{1} ⋆_{1}) \circ_{1} (x_{1} \circ_{1} z_{1})

für alle

x_{1}, y_{1}, z_{1} \in X_{1}

sowie entsprechend für

X_{2}

gilt.
Hieraus wird eine algebraische Struktur

(X_{1} \times X_{2}, ⋆_{3}, \circ_{3})

definiert, indem man die Verknüpfung komponentenweise definiert, also

(x_{1}, x_{2}) ⋆_{3} (y_{1}, y_{2}) := (x_{1} ⋆_{1} y_{1}, x_{2} ⋆_{2} y_{2})

usw.
Das Ditributivgesetz für

⋆_{3}

und

\circ_{3}

wird hier bewiesen unter Benutzung des Distributivgesetzes für

⋆_{1}

und

\circ_{1}

bzw.für

⋆_{2}

und

\circ_{2},

also kein Zirkelschluss

SarahT aktiv_icon

16:08 Uhr, 23.01.2010

Das verstehe ich sogar *gg* Danke schon mal so weit :-)

Die Indizes an * und $\circ$ habe ich wohl nicht so ernst genommen bzw. gar nicht erst verstanden, weshalb die nun da stehen ...

Also wäre das ein Beweis für die Existenz der Distributivität einer Verknüpfung zweier algebraischer Strukturen.

Kann man denn die Existenz der Distributivität auch ohne diese verknüpfung zweier alg. Strukturen zeigen, also nur für x,y,z? Das müsste dann doch auch gehen. Also (X, *, °) als algebraische Struktur und

$\forall x, y, z \in X : = [(x * (y \circ z)) = (x * y) \circ (x * z)]$

Im Bezug auf diesen Beweis finde ich in meinen Unterlagen nur: Es sei (X, *, ° ) eine algebraische Struktur mit kommutativem *. Dann gilt: * ist linksdistributiv bzgl. ° <=> * rechtsdistributiv bzgl. ° Wobei das aber glaube ich, nicht wirklich weiterhelfen wird, das DG zu beweisen.

hagman aktiv_icon

18:40 Uhr, 23.01.2010

Nein, das lässt sich nicht beweisen.
Die Verknüpfungen

⋆, \circ

(und möglicherweise noch weitere sowie möglicherweise auch mehrstellige oder auch null- bis einstellige Verknüpfungen) sind a priori ganz beliebig.
Assoziativität, möglicherweise Kommutativität und wie hier Distributivität sowie diverse andere "schöne" Eigenschaften fordert man vielmehr als Axiome. Dies hat zur Folge, dass alles, was man danach herleitet, nicht mehr unbedingt für *alle* algebraischen Strukturen gilt, sonern nur für jene, bei denen man für die gegebenen Verknüpfungen die verwendeten Axiome nachweisen kann.
Beispielsweise gelten Sätze, die man für abelsche Gruppen beweist, nicht unbedingt auch allgemein für Gruppen. Das macht die Saätzte nicht weniger wichtig, denn Gruppen "in freier Wildbahn" sind durchaus oft tatsächlich abelsch; für diese kann man dann die für abelsche Gruppen bewiesenen Aussagen verwenden, und wenn eine gegebene Gruppe doch nicht abelsch ist, hat man halt Pech - die für abelsche Gruppen bewiesene Aussage gilt nicht unbedingt.

Aus diesen Erörterungen ergibt sich folgende einfache Übungsaufgabe:
1. Finde eine algebrishce Struktur

(X, ⋆),

bei der

⋆

nicht assoziativ ist
2. Finde eine algebrishce Struktur

(X, ⋆),

bei der

⋆

assoziativ, aber nicht kommutativ ist.
3. Finde eine algebraisch Sturktur

(X, ⋆, \circ),

bei der

⋆

und

\circ

beide assoziativ und kommutativ sind, aber keines der beiden denkbaren Distributivgesetze gilt.

SarahT aktiv_icon

12:05 Uhr, 24.01.2010

Hallo nochmal :-)

Ich habe mich mal mit deiner gestellten Übungsaufgabe auseinandergesetzt.
Zu

1 .)

und

2 .)

habe ich eine Lösung gefunden, zu Aufg.

3 .)

ist mir noch nix wirklich gutes eingefallen.

also zu

1 .)

eine alg. Struktur

(X, \cdot),

die nicht assoziativ ist:

\forall x, y, z

ℝ : (\frac{x \cdot y}{2})

ist nicht assoziativ

zu

2 .)

eine algebraische Struktur

(X, \cdot),

die assoziativ und nicht kommutativ ist.
Das wäre die Matritzenmultiplikation:

(A \cdot (B \cdot C)) \neq ((B \cdot C) \cdot A) \forall

Mat(m,n,*)
Wobei ich mir hier allerdings nicht so sicher bin

. .

.

und zu

3 .)

habe ich wie gesagt nix gefunden.

hagman aktiv_icon

13:07 Uhr, 24.01.2010

Zu drei nimm einfach

X = ℤ

a ⋆ b := a \cdot b

a \circ b := (a - 1) \cdot (b - 1) + 1

(das ist lediglich die um 1 "verschobene" Multiplikation)
Die Übungsaufgaben sollten auch nur dazu dienen, dass klar wird, dass diese rechengesetzt nicht für alle algebraischen Strukturen gelten. Deshalb haben ja auch Strukturen, bei denen mehr und mehr der Gesetze gelten (und also im Einzelfall bei konkret gegebenen Strukturen zu überprüfen sind), besondere Namen verdient (Halbgruppen, Monoide, Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe, kommutative Ringe, unitäre Ringe, Körper,

...)

SarahT aktiv_icon

14:41 Uhr, 24.01.2010

Ja, die Begriffe sind mir teilweise auch schon begegnet und soweit ich behaupten kann auch einigermaßen verstanden worden :-)

Vielen Dank für deine Hilfe!

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