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Beweis durch vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Vollständig Induktion

maymay aktiv_icon

20:50 Uhr, 10.11.2022

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion,
dass für alle

x, y, z \in ℝ

und alle

n \in ℕ

gilt:

(x + y + z)^{n} = \sum_{i + j + k = n} \frac{n!}{i! j! k!} x^{i} y^{j} z^{k} .

mit

i, j, k \in {0, 1, \dots, n}

und

i + j + k = n

Ansatz:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{n - k} y^{k}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

21:40 Uhr, 10.11.2022

Hallo,

selbst wenn es jetzt umständlich erscheint, würde ich mir für den Term

\frac{n!}{i! \cdot j! \cdot k!}

für

i + j + k = n

die Abkürzung

(\binom{n}{i, j, k})

einfallen lassen, die Multinomialkoeffizient nennen und die Gleichung

(\binom{n}{i, j, k}) = (\binom{n}{k}) \cdot (\binom{k}{j})

mit

i := n - k - j

beweisen, was keine Induktion erfordert. (Natürlich kann man die zugehörige Gleichung auch ohne die Abkürzung beweisen.)

Ich nehme an, dein Ansatz ist ein Tipp zur Lösung?

Wenn ihr den binomischen Lehrsatz (bL) verwenden sollt, dann geht das ja erst einmal ohne Induktion bis hier hin:

(x + y + z)^{n} = [(x + y) + z]^{n} \overset{bL}{=} \sum_{l = 0}^{n} (\binom{n}{l}) (x + y)^{l} z^{n - l} \overset{bL}{=} \sum_{l = 0}^{n} (\binom{n}{l}) [\sum_{i = 0}^{l} (\binom{l}{i}) x^{i} y^{l - i}] z^{n - l}

= \sum_{l = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{l} (\binom{n}{l}) (\binom{l}{i}) x^{i} y^{l - i} z^{n - l}

Die Induktion brauchst du nun, um zu beweisen, dass mit

j := l - i

und

k := n - l

(also

i + j + k = n

) gilt:

= \sum_{l = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{l} (\binom{n}{l}) (\binom{l}{i}) x^{i} y^{l - i} z^{n - l} = \sum_{i + j + k = n} (\binom{k}{i, j, k}) x^{i} y^{j} z^{k}

, wenn ich das richtig sehe.

Es gäbe wohl noch eine Variante, die sich mehr am Beweis des binomischen Lehrsatzes orientiert (würde ich bevorzugen). Ihr sollt wohl aber eher diesen Weg gehen.

Mfg Michael

maymay aktiv_icon

21:49 Uhr, 10.11.2022

"Ich nehme an, dein Ansatz ist ein Tipp zur Lösung?"

ja genau.

“Es gäbe wohl noch eine Variante, die sich mehr am Beweis des binomischen Lehrsatzes orientiert (würde ich bevorzugen).”

Obwohl wir den Weg mit der vollständigen Induktion gehen sollten, den du ausführlich geklärt hast (Danke), bin an dem anderen Weg interessiert, natürlich falls dies nicht mühsam zu schreiben wäre.

HAL9000

07:55 Uhr, 11.11.2022

> und die Gleichung

(\begin{array}{c} n \\ i, j, k \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} k \\ j \end{array})

[...] beweisen

Hast du dich da nicht ein wenig verhaspelt? Tatsächlich ist

(\begin{array}{c} n \\ i, j, k \end{array}) = \frac{n!}{i! j! k!} = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} n - k \\ j \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} n - k \\ i \end{array})

michaL aktiv_icon

08:26 Uhr, 11.11.2022

Hallo,

@HAL9000:
Ja, offenbar nimmt das in letzter Zeit zu...
Dabei war es doch noch gar nicht so spät.

Und in meiner letzten Summe müsste der Multinomialkoeffizient

(\binom{n}{i, j, k})

statt

(\binom{k}{i, j, k})

stehen.

Das dürfte wohl aber einfach ein Tippfehler sein.

Mfg Michael

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