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Beweis einer abelschen Gruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

laretta aktiv_icon

10:22 Uhr, 17.11.2011

Hallo,

Wir haben jetzt das Thema Gruppen und sollen gleich mal beweisen, dass eine Gruppe abelsch ist. Hier mal die Aufgabenstellung:

"Sei

(G, \cdot)

eine Gruppe mit

g \cdot g = 1

für alle

g \in G

. Zeigen Sie, dass

G

abelsch ist."

Also muss ich beweisen, dass

1) \cdot

assoziativ ist, also (?)

g \cdot (g \cdot g) = (g \cdot g) \cdot g

2)

ein neutrales Element existiert, also

g \cdot e = e \cdot g = g

3)

ein inverses Element existiert, also (?)

g \cdot g = g \cdot g = e

4) \cdot

kommutativ ist, also (?)

g \cdot g = g \cdot g

Mein Problem ist, dass ja nur

g \cdot g = 1

gegeben ist. Es ist ja keine andere Zahl in

G

gegeben. neutrales Element müsste ja 1 sein und inverses Element müsste ja eigentlich das schon gegebene sein, also auch 1. Kann das sein?

Ich freu mich über eure Hilfe, vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

10:48 Uhr, 17.11.2011

Hallo.

daß

G

eine Gruppe ist, ist ja vorausgesetzt, das muß man nicht mehr beweisen. Was man noch zusätzlich über die Gruppe weiß, ist, daß

g \cdot g = 1

gilt für alle

g \in G (1

ist offensichtlich das neutrale Element).
Zu beweisen ist, daß die Gruppe abelsch ist, daß also für alle

a, b \in G

gilt:

a \cdot b = b \cdot a

(Kommutativität). Dazu mußt Du die Gruppeneigenschaften benutzen und die zusätzliche Eigenschaft

g \cdot g = 1

.
Tipp: Wenn

a, b \in G

sind, dann ist natürlich auch

a \cdot b \in G

und für

a \cdot b

gilt deshalb auch die zusätzliche Eigenschaft

(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = 1

. Versuche nun, diese Gleichung mit Hilfe der Gruppeneigenschafren so umzuformen, daß am Schluß

a \cdot b = b \cdot a

dasteht.

Viele Grüße
Yokozuna

laretta aktiv_icon

11:44 Uhr, 17.11.2011

Hallo,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Ich hab jetzt ein bisschen herumexperimentiert und bin auf etwas gekommen, allerdings nicht ganz klar, ob das richtig ist:

Sei

g =

ab und

f =

ba,

g \cdot g = 1, g = \frac{1}{g}

und

f \cdot f = 1, f = \frac{1}{f}

g \cdot g \cdot 1 = g \cdot g \cdot f \cdot f =

(ab)(ab)(ba)(ba) =(Assoziativgesetz)= a(ba)b(ba)(ba)

= a \cdot f \cdot b \cdot 1 = a \cdot (\frac{1}{f}) \cdot b =

a*(1/ba)*b

= 1

a*(1/ba)*b

= 1

a \cdot b = b \cdot a

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob man das so machen kann. Man setzt ja vorraus, dass ab und ba gleich sind und beweist es dann anschließend, aber habe ich da einen Fehler gemacht?

Yokozuna aktiv_icon

14:27 Uhr, 17.11.2011

Hallo,

sorry, ich mußte über mittag mal weg.
Also um von

a \cdot (\frac{1}{b \cdot a}) \cdot b

auf

a \cdot b = b \cdot a

zu kommen, brauchst Du doch schon das Kommutativgesetz, das Du aber gerade erst beweisen willst. Der Beweis geht eigentlich ziemlich einfach.

a, b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G \Rightarrow

(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = 1

(zusätzliche Eigenschaft

g \cdot g = 1

mit

g = a \cdot b) \Rightarrow

a \cdot (b \cdot a) \cdot b = 1

(Assoziativgesetz)|mit a von links multiplizieren

\Rightarrow

a \cdot a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot 1 \Rightarrow

1 \cdot (b \cdot a) \cdot b = a

(zusätzliche Eigenschaft und neutrales Element)

\Rightarrow

(b \cdot a) \cdot b = a

(neutrales Element)|von rechts mit

b

multiplizieren

\Rightarrow

(b \cdot a) \cdot b \cdot b = a \cdot b \Rightarrow

(b \cdot a) \cdot 1 = a \cdot b

(zusätzliche Eigenschaft)

\Rightarrow

b \cdot a = a \cdot b

(neutrales Element)

Viele Grüße
Yokozuna

laretta aktiv_icon

14:59 Uhr, 17.11.2011

Ja, stimmt. Ist eigentlich total einfach. Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

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