 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Beweis für Divergenz der harmonischen Reihe
Beweis für Divergenz der harmonischen Reihe
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Diverhenz, Harmonische Reihe, Induktion
 
|
  |
|---|
|
Hi, ich hab folgendes Problem und hoffe ihr könnt mir ein wenig weiter helfen... ich soll für eine Präsentation die Divergenz der harmonischen Reihe beweisen 1.) mit vollständiger Induktion 2.) ohne vollständige Induktion ich komme in beiden Fällen nicht zurecht. wäre klasse, wenn mir jemand den Induktionsanfang und Induktionsschluss zeigen könnte! lg Heinz |
|
 |
|
Ich weiß nicht, wie das mit Induktion gehen soll, aber ohne geht es inhaltlich folgendermaßen (nur ein Gedankenanstoß). Ich suche eine Reihe, die elementweise kleiner oder gleich ist und beweise, dass sie schon ins Unendliche wächst (wird auch Minorantenkriterium genannt). Also 1+ 1/2+1/3+ 1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+ 1/9+1/10+.... > 1+ 1/2+1/2+ 1/4+1/4+1/4+1/4+ 1/8+1/8+1/8..... =1+ 2*1/2+ 4*1/4+ 8*1/8 .... =1+1+1+1+.... also strebt diese Reihe gegen unendlich und damit auch die harmonische Reihe. Du musst diesen Gedanken nur noch in eine saubere Form bringe (Teilsummen). |
|
|
|
Hallo, leider irrt Hagen hier gewaltig, wenn er schreibt: 1+ 1/2+1/3+ 1/4+1/5+1/6+1/7+1 /8+ 1/9+1/10+.... > 1+ 1/2+1/2+ 1/4+ 1/4+1/4+1/4+ 1/8+1/8+1/8..... Denn 1/3 ist nicht größer als 1/2 und 1/5, 1/6, 1/7 sind allesamt nicht größer als 1/4, usw. usf. Ein halbwegs korrekter Weg ist der folgende: Man betrachtet die Partialsummenfolge der Reihe. Wenn die Reihe konvergiert so konvergiert auch jede unendliche Teilfolge gegen den selben Wert. Andersherum divergiert eine Folge, wenn eine unendliche Teilfolge existiert, die divergent ist. Eine Teilfolge ist die, bei der die Anzahl der Summanden immer eine Potenz von 2 ist: S(2^n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... + 1/(2^(n-1)+1) + ... + 1/2^n = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... + (1/(2^(n-1)+1) + ... + 1/2^n) > 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ... + (1/2^n + ... . 1/2^n) = 1 + 1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + ... + 2^(n-1)*1/2^n = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 = 1 + n/2 Egal wie groß ich eine Zahl S wähle, sie ist keine obere Schranke der Partialsummenfolge, denn für n=2*S ist die Summe S(n) größer als S. Damit wächst diese Teilfolge über alle Schranken hinweg und ist divergent. Damit divergiert auch die harmonische Reihe. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
484989
484986