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Beweis für eine monoton wachsende rekursive Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, monoton wachsend, rekursive Folgen

Neuling13 aktiv_icon

15:26 Uhr, 17.03.2015

Guten Tag.
Ich bräuchte eure Hilfe.
Ich komme mit dieser Aufgabe allgemein nicht zurecht, welche Schritte ich beachten/machen muss.
Meine Beispiel Aufgabe wäre folgende:

Gegeben sei die rekursive Folge:

a_{1} = 1

a_{a + 1} =

sqrt((1/4)*(a_n)²+3)

Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend ist. Geben Sie eine obere Schranke

S

an. Bestimmen sie den Grenzwert der Folge.

Ich weiß das wenn eine Folge monoton wachsend ist, muss

a_{n} \leq a_{n + 1}

sein.
Jedoch weiß ich nicht genau wie ich da jetzt Beweisen soll und weiter vorgehen soll.
Wie man die obere Schranke

S

bestimmt kann ich nichts anfangen.
Den Grenzwert kann ich bestimmen, da wenn

a_{n}

monoton ist strebt es gegen

a,

genauso wie ein

b_{n} := a_{n + 1}

.

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Gruss Marcel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

16:36 Uhr, 17.03.2015

Dass die Folge gegen 2 strebt hast du ja vermutlich zumindest experimentell schon herausgefunden. Und zwar ist das unabhängig von Startwert

a_{1},

also auch, wen

a_{1} > 2

ist.

Setze doch einmal an

a_{n + 1} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} > a_{n}

(ab jetzt mit einem Fragezeichen oder einem zZ über dem Größer-Zeichen)
und löse diese Ungleichung nach

a_{n}

auf.

Du erhältst die Forderung

a_{n} < 2

.
Und nur in diesem Fall hast du auch eine streng monoton steigende Folge. Wenn du mit einem Startwert über 2 beginnst, ergibt sich eine streng monoton fallende Folge und für

a_{1} = 2

erhältst du die konstante Folge mit

a_{n} = 2

.

Jetzt musst du also noch zeigen, dass in deinem Fall

a_{n} < 2 \forall n \in ℕ

gilt.
Da bietet sich vollständige Induktion an. Der Anfang ist mit

a_{1} = 1 < 2

schon gemacht und jetzt gilt es durch geschickte Abschätzung zu zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass

a_{n} < 2

ist gilt:

a_{n + 1} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} \dots \dots < 2

Das ist natürlich jetzt ein aufgelegter Einzeiler.
Damit hast du nicht nur die Monotie gezeigt, sondern auch eine obere Schranke gefunden und es sollte nicht schwierig sein zu zeigen, dass es sich dabei um die kleinste obere Schranke handelt.

Gruß

R

Neuling13 aktiv_icon

18:03 Uhr, 17.03.2015

Hey danke für die schnelle Antwort.
Leider habe ich irgendwie starke Schwiergkeiten diese geschickte Abschätzen zu machen.
Ich weiß nicht zu welcher Form ich es hin abschätzen muss.
Geht das einfach so ( das kann jetzt auch wirklich lächerlich schlecht sein, aber bei der

ε N (ε)

Definition , weiß ich zum Beispiel beim Abschätzen das ich es auf eine Form von

c \cdot \frac{1}{n^{α}} \leq ε

bringen muss)

Mein Versuch:

\sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} < \frac{a_{n}^{2}}{4} + 3 < a_{n}^{2} + 3

kann man das so machen oder ist das alles Falsch?

(ich weiß das scheint alles sehr dumm zu sein diese Fragerei!)

Gruss

Marcel

Roman-22

18:23 Uhr, 17.03.2015

>

Mein Versuch:

> \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} < \frac{a_{n}^{2}}{4} + 3 < a_{n}^{2} + 3

Nun, bei der ersten Abschätzung müsstest du erst noch zeigen/begründen, dass der Radikand größer als 1 ist, nur dann gilt sie. Die zweite Abschätzung sollte für alle

a_{n} \in ℝ

gelten.
Aber was genau bringt dir diese Abschätzung?

Ich gehe davon aus, dass du meinen vorherigen Anmerkungen folgst und versuchst zu zeigen, das

a_{n + 1} < 2

gilt, wenn

a_{n} < 2

gilt. Da hilft dir deine Abschätzung, glaube ich, nichts. Mit der könntest du bestenfalls

a_{n} < 7

unter der Voraussetzung

a_{n} < 2

"zeigen" - das kannst du aber auch billiger haben :-)

Wir haben

a_{n + 1} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3}

.
Wenn wir annehmen dürfen, dass

a_{n} > 2

ist, wie ändert sich dann der obige Ausdruck, wenn du

a_{n}

durch 2 ersetzt?

Gruß

R

DerDepp aktiv_icon

16:28 Uhr, 18.03.2015

Huhu :-)

Roman hat das Vorgehen ja im Prinzip bereits skizziert. Da hier die Folge

a_{1} = 1; a_{n + 1} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3}

rekursiv definiert ist, drängt sich als Methode die vollständige Induktion regelrecht auf. Im ersten Schritt kannst du z.B. durch vollständige Induktion zeigen, dass alle

a_{n} < 2

sind.

Induktionsanfang mit

n = 1

a_{1} = 1 < 2

erfüllt!

Induktionsschritt mit

n \to n + 1

:
Nach Induktionsvoraussetzung gilt

a_{n} < 2

. Das führt zu der Folgerungskette:

a_{n} < 2 \Rightarrow a_{n}^{2} < 4 \Rightarrow \frac{a_{n}^{2}}{4} < 1 \Rightarrow \frac{a_{n}^{2}}{4} + 3 < 4 \Rightarrow a_{n + 1} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} < \sqrt{4} = 2

Wenn also

a_{n} < 2

ist, muss auch

a_{n + 1} < 2

sein.
Wegen der Induktionsvoraussetzung sind somit alle

a_{n} < 2

.
Eine obere Schranke für

a_{n}

ist also

S = 2

.

Damit kannst du die Monotonie schnell zeigen, denn:

a_{n} < 2 \Rightarrow a_{n}^{2} < 4 \Rightarrow \frac{1}{a_{n}^{2}} > \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{3}{a_{n}^{2}} > \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{3}{a_{n}^{2}} > 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{a_{n}^{2}}} > 1

Und damit weiter:

a_{n + 1} - a_{n} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} - a_{n} = a_{n} \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{a_{n}^{2}}} - a_{n} = a_{n} (\underset{> 1}{\underset{⎵}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{a_{n}^{2}}}}} - 1) > 0 \Rightarrow a_{n + 1} > a_{n}

Die Folge ist also streng monoton wachsend.

Da du nun weißt, dass die Folge nach oben durch

S = 2

beschränkt ist und dass sie streng monoton wachsend ist, existiert ein Grenzwert

a = lim_{n \to \infty} a_{n}

. Dieser Grenzwert gilt natürlich auch für

a_{n + 1}

, sodass auch

a = lim_{n \to \infty} a_{n + 1}

richtig ist:

a^{2} = {(lim_{n \to \infty} a_{n + 1})}^{2} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1}^{2} = lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3) = \frac{lim_{n \to \infty} (a_{n}^{2})}{4} + 3 = \frac{{(lim_{n \to \infty} a_{n})}^{2}}{4} + 3 = \frac{a^{2}}{4} + 3

Es entsteht schließlich eine quadratische Gleichung für den Grenzwert

a

a^{2} = \frac{a^{2}}{4} + 3 \Rightarrow \frac{3}{4} a^{2} = 3 \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2

Ok?

Roman-22

18:31 Uhr, 18.03.2015

〉

Wenn wir annehmen dürfen, dass

a_{n} > 2

ist, wie ändert sich dann

...

.

Das sollte natürlich

a_{n} < 2

lauten.

R

Bummerang

10:01 Uhr, 19.03.2015

Hallo,

bereits im ersten Post von Roman-22 steckt ein Fehler, wenn er behauptet, dass die Forderung, streng monoton wachsend zu sein, für

a_{n} < 2

erfüllt ist! Als Gegenbeispiel sei

a_{1} = - 4 < 2

gewählt!

a_{2} = \sqrt{\frac{{(- 4)}^{2}}{4} + 3} = \sqrt{\frac{16}{4} + 3} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}

a_{3} = \sqrt{\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4} + 3} = \sqrt{\frac{7}{4} + 3} = \sqrt{\frac{7}{4} + \frac{12}{4}} = \sqrt{\frac{19}{4}} < \sqrt{7} = a_{2}

a_{4} = \sqrt{\frac{{\sqrt{\frac{19}{4}}}^{2}}{4} + 3} = \sqrt{\frac{\frac{19}{4}}{4} + 3} = \sqrt{\frac{19}{16} + \frac{48}{16}} = \sqrt{\frac{67}{16}} < \sqrt{\frac{19}{4}} = a_{3}

Und auch im Beitrag von DerDepp wird an der Stelle

"Und damit weiter:

a_{n + 1} - a_{n} = \sqrt{\frac{a_{n}^{2}}{4} + 3} - a_{n} = a_{n} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2}{a_{n}^{2}}} - a_{n} = . .

. "

nicht berücksichtigt, dass zuvor weder bewiesen noch vorausgesetzt wurde, dass

a_{n} \geq 0

ist. Somit sind an dieser Stelle Betragsstriche notwendig!

Neuling13 aktiv_icon

10:30 Uhr, 19.03.2015

Vielen dank für eure ganzen antworten.
Mein Problem hat sich nun mittlerweile geklärt auch dank eurer Hilfe.
Vielen Dank!

Gruss Marcel

-closed-

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