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Beweis für n^3-n ist durch 6 teilbar

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Vollständige Induktion

anonymous

00:50 Uhr, 15.11.2008

Hallo,

ich komme bei Aufgabe nicht weiter. Ich soll die Aussage beweisen oder widerlegen, dass für alle

n \in ℕ_{0}

gilt:

n^{3} - n

ist durch 6 teilbar.

Soweit bin ich:

Beweistechnik/Info: Beweis durch vollständige Induktion

Induktionsvoraussetzung: Für alle

n

gilt

n \in ℕ_{0}

zu zeigen:

n^{3} - n

ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang:

n = 0 : 0^{3} - 0 = 0 - 0 = 0

ist durch 6 teilbar

Induktionsannahme:

n^{3} - n

ist durch 6 teilbar

Induktionsschritt:

n \to n + 1 :

{(n + 1)}^{3} - (n + 1)

= {(n + 1)}^{3} - n - 1

= (n + 1) (n + 1) (n + 1) - n - 1

= (n^{2} + 2 n + 1) (n + 1) - n - 1

= n^{3} + 2 n^{2} + n + n^{2} + 2 n + 1 - n - 1

= n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n - 1

= n^{3} + 3 n^{2} + 2 n

= (n^{3} - n) + 3 n^{2} + 3 n

= (n^{3} - n) + 3 (n^{2} + n)

(n^{3} - n)

ist laut Induktionsannahme durch durch 6 teilbar, ABER wie kann ich beweisen, dass auch

3 (n^{2} + n)

durch 6 teilbar ist? An der Stelle komm ich nicht weiter.

thx

Edit: Habe nochmal was editiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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01:02 Uhr, 15.11.2008

Ich habe jetzt die lange Rechnung nicht komplett kontrolliert.

Es reicht jedenfalls, dass Du zeigst, dass der

n^{3} - n

sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Die Teilbarkeit durch 2 ist von Vorneherein klar, denn:
ist

n

gerade, so auch

n^{3}

und damit auch die Differenz

n^{3} - n;

ist

n

ungerade, so auch

n^{3}

und damit die Differenz

n^{3}

wieder gerade.

Es braucht daher nur noch die Teilbarkeit durch 3 gezeigt werden - und diesbezüglich schaut's doch schon recht gut aus ;-)

Es ginge auch komplett ohne Induktion:

n^{3} - n = n \cdot (n^{2} - 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)

Dies ist das Produkt von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, von denen zwangsläufig immer eine durch 3 teilbar ist. Also ist auch das ganze Produkt durch 3 teilbar.

anonymous

02:58 Uhr, 15.11.2008

Das verstehe ich grade nicht sry. Dass

(n^{3} - n)

durch 6 teilbar ist, brauch ich doch nicht zu beweisen, weil es die Induktionsannahme ist. Es ging mir darum zu zeigen, dass auch

3 (n^{2} + n)

durch 6 teilbar ist. Nur weil etwas durch 3 teilbar ist, muss es doch nicht automatisch durch 6 teilbar sein... Danke trotzdem für die bisherige Hilfe.

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12:11 Uhr, 15.11.2008

Wie gesagt, eine Induktion ist nicht nötig.
Du kannst - siehe mein anderer Beitrag - allgemein zeigen, dass für jede natürliche Zahl

n

der Ausdruck

n^{3} - n

sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Und damit ist er natürlich auch durch 6 teilbar.

Zu Deiner Frage: Klar ist

3 \cdot (n^{2} + n)

durch 6 teilbar: es ist durch 3 teilbar, wegen dem Faktor 3. Es ist aber auch durch 2 teilbar, weil die Klammer

(n^{2} + n)

durch 2 teilbar ist.

n^{2} + n = n \cdot

(n + 1),

also das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, von denen sicher eine gerade ist.
Oder man unterscheidet, ob

n

gerade oder ungerade ist, und sieht in beiden Fällen, dass

n^{2} + n

gerade ist.

anonymous

00:13 Uhr, 16.11.2008

Das erklärt immer noch nicht meine Frage, warum etwas durch 6 teilbar ist, wenn es durch 2 und 3 teilbar ist. Eigentlich muss das noch bewiesen werden oder?

m, n, o \in ℕ_{0}

\frac{n}{3} = m \Leftrightarrow n = 3 m

und

\frac{n}{2} = o \Leftrightarrow n = 2 o

2 n = 3 m + 2 o

???

Und wir sollen es mit vollständiger Induktion machen.

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00:29 Uhr, 16.11.2008

Für jede natürliche Zahl kann man eine sog. Primfaktorzerlegung machen.

Z . B

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

.
Ist eine Zahl

n

durch 2 und durch 3 teilbar (beides Primzahlen!), so stecken also sowohl die 2 als auch die

3

in der Primfaktorzerlegung von

n

drin,

d . h . :

n = 2 \cdot 3 \cdot

(andere Faktoren)
Und

2 \cdot 3

ist nun mal

6,

also

n = 6 \cdot (...); n

ist durch 6 teilbar.

Wie gesagt, ohne Induktion ist die Aufgabe blitzschnell bewiesen.
Aber auch mit Induktion ist's kein Problem: Du hast sie doch nach allem, was wir besprochen haben, so gut wie fertig!

anonymous

17:17 Uhr, 16.11.2008

Hab ich soweit verstanden. Weil 2 und 3 Primfaktoren der Zahl 6 sind, muss die Zahl deshalb auch durch 6 teilbar sein. Der letzte schritt wäre dann wohl:

(n^{3} - n) + 3 (n (n + 1))

(n^{3} - n)

ist laut IA. durch 6 teilbar und

3 (n (n + 1))

ist durch 3 teilbar (wegen dem Vorfaktor

3)

und durch 2 teilbar (weil das Produkt zweier aufeinander folgenden Zahlen immer gerade ist) und weil 2 und 3 Primfaktoren von 6 sind, ist

3 (n (n + 1))

durch 6 teilbar.

q . e . d

.

Ist das so richtig formuliert oder geht das auch kürzer? Wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat sie dann immer die gleichen Primfaktoren? Oder lässt sich eine Zahl auch durch unterschiedliche Primfaktoren darstellen?

Und wenn ich das ganz anders beweise, dass das das Produkt von 3 aufeinander folgenden Zahlen ist, warum ist es dann klar das es durch 6 teilbar ist?

Danke!

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17:25 Uhr, 16.11.2008

Ich denke, der Induktionsbeweis passt dann schon so.

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist stets eindeutig; es existieren dafür auch Beweise.

Noch mal zum eleganten Beweis ohne Induktion:

n^{3} - n = n \cdot (n^{2} - 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1),

also das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen.
Es ist (mind.) einer dieser Faktoren geradzahlig, also durch 2 teilbar (weshalb auch das Produkt durch 2 teilbar ist).
Genau einer dieser Faktoren ist durch 3 teilbar, da ja generell "jede dritte natürliche Zahl durch drei teilbar ist" (also ist auch das Produkt durch 3 teilbar).
Somit ist das Produkt durch

2 \cdot 3 = 6

teilbar.

anonymous

05:04 Uhr, 17.11.2008

Ahhh gut danke. Ich hatte nen kleinen Denkfehler drin. Ich dachte die Zahl ist ENTWEDER durch 2 ODER durch 3 teilbar. Aber sie ist ja durch 2 UND 3 teilbar, und damit natürlich auch

6,

denn wenn man sich das ganze als Bruch vorstellt, dann steht oben

2 \cdot 3 \cdot n

und unten

2 \cdot 3

. Gut danke hab ich also was über Primzahlen gelernt usw.

n^{3} - n = n (n^{2} - 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)

Dabei kann ich den letzten Schritt nicht so gut nachvollziehen. In die andere Richtung ist es wiederum einfacher:

(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) = (n^{2} - n) \cdot (n + 1) = n^{3} - n^{2} + n^{2} - n = n^{3} - n

Gibt es da irgendeinen Trick? Denn letztendlich muss der der das korrigiert ja wissen dass ich das verstanden hab. Und wenn der nicht auf den Schritt kommt? Danke schon mal!

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09:39 Uhr, 17.11.2008

Stichwort binomische Formel!
Es ist ja

n^{2} - 1 = n^{2} - 1^{2} = (n + 1) \cdot (n - 1)

Dies habe ich verwendet und in der Aufgabe die Faktoren dann der Größe nach geordnet - damit man schön sieht, dass es drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind.

anonymous

19:42 Uhr, 20.11.2008

Meinem Tutor reicht

(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)

und dass drei aufeinander folgende Zahlen durch 2 und 3 teilbar sind nicht als Begründung aus. Meint das muss noch bewiesen werden. Hab nur die hälfte der Punkte bekommen.

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22:49 Uhr, 20.11.2008

Das tut mir Leid und finde ich echt gemein!
Hast Du denn die Lösung per vollständiger Induktion auch mit abgegeben, nachdem ja offenbar auf der recht rumgeritten wurde?

anonymous

05:17 Uhr, 21.11.2008

Ja macht ja nichts. Vollst. Induktions Beweis hab ich nicht mit abgegeben. Ich frag mich nur wie der Beweis dafür seiner Meinung nach aussehen sollte.

(n) \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)

= (n^{2} + n) \cdot (n + 2)

= n^{3} + 3 n^{2} + 2 n

=?

Danke!

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07:30 Uhr, 21.11.2008

Der Induktionsbeweis hatte ja so gepasst, wie Du ihn ursprünglich begonnen hattest. Und wie es an der Stelle weitergeht, an der Du hängen geblieben bist, haben wir auch besprochen.
Und dann halt noch einen weiteren Weg entdeckt, der noch einfacher ist. Schade, dass er nicht wirklich anerkannt wurde!

anonymous

16:46 Uhr, 21.11.2008

Wie geht es ab dem Fragezeichen weiter? Da ich grad mit Beweisen angefangen habe, wäre das gut zu wissen. Danke für die Hilfe!

fantasma aktiv_icon

18:20 Uhr, 21.11.2008

Du meinst das Fragezeichen in Deinem allerersten Beitrag ganz oben? Ab der Stelle, wo Du beweisen willst, dass

3 \cdot (n^{2} + n)

durch 6 teilbar ist?
Nun, durch 3 ist dies teilbar wegen dem Vorfaktor 3. Die Klammer hingegen ist

n^{2} + n = n \cdot (n + 1);

dies ist ein Produkt von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen, von denen also eine gerade und damit durch 2 teilbar ist.
Das ist aber wiederum diese Art von Argumentation, die bei Euch ja nicht anerkannt wurde - wenn sie an dieser Stelle anerkannt wird, müsste man nämlich konsequenterweise auch Deine Lösung, die wir hier besprochen haben, gelten lassen.
Habt Ihr denn keine "Musterlösung" bekommen? Oder kannst Dir mal die Lösung von jemand zeigen lassen, der volle Punktzahl erhalten hat?
Leider ist es mir nun also auch ein Rätsel, was exakt dieser Tutor haben hätte wollen.

anonymous

02:05 Uhr, 22.11.2008

Nein nein. Ich meinte nicht das Fragezeichen im ersten Beitrag, ich meinte den Beweis warum das Produkt aus drei aufeinander folgenden Zahlen durch 6 teilbar ist. Trotzdem danke:-)

sebgoetz aktiv_icon

13:35 Uhr, 16.12.2008

Hallo,

ich habe die Diskussion mit verfolgt (leider erst heute).
Reicht es nicht, wieder per Vollständiger Induktion, zu zeigen, dass

(n + n^{2})

durch 2 teilbar ist?

Gruß,
Sebastian

matheaufderMatte aktiv_icon

04:04 Uhr, 20.01.2015

also anonymous, ich glaube ich verstehe deine frage mit dem so beschriebenen "Fragezeichen":

dem Prüfer reicht es natürlich nicht aus, ihm die hier schon oft gezeigte, dreizeilige Gleichung vor den Latz zu knallen. Er will natürlich sehen ob du den darin enthaltenen Denkinhalt auch verstanden hast (denn du hättest dir diese 3 Zeilen ja auch einfach irgendwo abschreiben können). Jedenfalls könntest du dies auch einfach in deine eigenen Worte fassen. Dies könnte wie folgt ausssehen:

"Da ein Einsetzen einer beliebigen Natürlichen Zahl immer zur Folge hat dass man zwangsweiße ein Produkt von drei direkt aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen erhält (Beispiel für

n = 5 :

(5 - 1) \cdot 5 \cdot (5 + 1) = 4 \cdot 5 \cdot 6),

ist bewiesen, dass dieses Produkt IMMER GENAU eine Zahl enthält, welche durch 3 teilbar ist. Somit ist auch das GANZE Produkt durch drei teilbar, denn:

3 | a \cdot b \cdot c

falls a oder

b

oder

c

durch 3 teilbar ist. Dies wurde schon bewiesen."

ich denke wenn du diesen Zusatz noch übernehmen würdest, zu allem was oben schon im Beitrag steht, solltest du der vollen Punktzahl sehr nahe kommen. Viel Glück :-)

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