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Beweis injektiv, bijektiv, surjektiv
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 19:54 Uhr, 16.10.2004  |
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Hallo Ihrs, ich habe seit einer Woche mit dem Studium Mathe auf Lehramt Sek II begonnen und habe jetzt einfach mal Vorlesungen zusammen mit den Diplommathematikern. Und der Hammer hat voll bei mir eingeschlagen:( Ich verstehe so gut wie nichts. Trotzdem will ich es verstehen lernen und pauke seit einer Woche nur noch mathematische Notationen, um überhaupt etwas zu verstehen. Leider werden diese mathematischen Grundlagen, wie ich sie jetzt hier benötige, nicht in Schulen vermittelt. Darum suche ich jemanden, der mir hilft, den Einstieg ins Abstrakte zu finden( ...gerne per mail oder Telefon) ... und ich ne Lösung für folgende Hausaufgabe ... Seien f:X-->Y und g:Y-->Z Abbildungen. Beweisen Sie: a) Sind f und g injektiv, s o ist auch g°f injektiv. b) Sind f und g surjektiv, s o ist auch g°f surjektiv. c) Sind f und g bijektiv, s o ist auch g°f bijektiv. d) Drücken Sie im bijektiven Fall die Umkehrabbildung von g°f durch diejenigen von f und g aus für jede Hilfe bin ich sehr dankbar ... Sandra |
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anonymous 22:43 Uhr, 16.10.2004 |
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Hi! Hab im ersten Semester auch auf Lehramt studiert und weiß, dass das ganz schön bitter ist. 12 SWS nur Mathe und dann noch der restliche Kram (2. Fach etc.), wobei man due realistische Zeit, die man für Mathe aufwenden muss eh eigentlich schon mal 5/2 nehmen muss... Der beste Tipp, den ich dir geben kann ist eigentlich: Lass dich ein auf das Abstrakte. Der zweitbeste: Wechsel auf Diplom ;) Aber bei dem Gefragten versuch ich natürlich auch noch zu helfen: a) f injektiv, g injektiv, also gilt: f.a. x1, x2 e X : f(x1)=f(x2) <=> x1=x2, f.a. y1, y2 e Y : g(y1)=g(y2) <=> y1=y2 Sei jetzt f(x1)=y1 und f(x2)=y2 Dann nur noch: g(f(x1))=g(f(x2)) <=> f(x1)=f(x2) , da g injektiv <=> x1 = x2 , da f injektiv. Also: g(f(x1))=g(f(x2)) <=> x1=x2 b) f surjektiv, g surjektiv, also gilt: f.a. y e Y gibt es ein x e X : y = f(x) f.a. z e Z gibt es ein y e Y : z = g(y) Vielleicht schaffst du das so selbst? Geht im Grunde genauso wie bei der Injektivität. c) f und g bijetiv ist ja nix anderes, als f und g surjektiv UND injektiv. Vielleicht kommst du so weiter? d) Du weißt ja, dass es Umkehrabbildungen einer Funktion gibt, wenn sie bijektiv sind. Wenn also f bijektiv ist, dann ist ihre Umkehrfunktion f^(-1). Das Gleiche gilt für g. Jetzt musst du dir nur noch überlegen in welcher Reihenfolge du sie schalten musst. Tschuldige, dass ich nicht alles ganz detailliert ausführen kann, aber mir is grad was dazwischen gekommen... Hoffe, es hat trotzdem geholfen. Ansonsten frag einfach nochmal... Liebe Grüße Christina P.S.: Ich will dir ja keine Angst machen, aber Analysis ist noch so unabstrakt wie es nur geht. Sieh dich vor Algebra vor (mein Spezialgebiet ;)). |
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anonymous 22:52 Uhr, 16.10.2004 |
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Hallo Sandra, Zuerst würde ich mir keine Gedanken machen über die anfänglichen Probleme. Die meisten haben sie. Das heißt aber gar nichts. Ich kenne zum Beispiel Leute, die trotz anfänglichen imensen Probleme ihren Doktor in Mathe gemacht haben. Die Hauptsache ist, dass du nicht aufgibst, auch wenn du mal einen Schein, nicht auf Anhieb machen solltest. Du hast folgendes geschrieben: Seien f:X-->Y und g:Y-->Z Abbildungen. Beweisen Sie: a) Sind f und g injektiv, s o ist auch g°f injektiv. b) Sind f und g surjektiv, s o ist auch g°f surjektiv. c) Sind f und g bijektiv, s o ist auch g°f bijektiv. d) Drücken Sie im bijektiven Fall die Umkehrabbildung von g°f durch diejenigen von f und g aus Ich weiß nicht, wie euer Professor Injektivität und Surjektivität definiert hat, aber ich habe mir folgende Definitionen gemerkt: Sei f: A -> B eine Abbilbdung. (1) f ist injektiv, wenn für x1,x2 aus A mit x1<>x2 auch f(x1)<>f(x2) ist. (Das Zeichen '<>' steht für 'ungleich'). (2) f ist surjektiv, wenn f(A)=f(B) gilt. (3) f ist bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Oder, aus (1) folgernd: Wenn x1,x2 aus A und f(x1)=f(x2) gegeben ist, so muss x1=x2 folgen. Für deine Aufgabe a heißt das folgendes: Sei x1,x2 aus X und f(x1)=f(x2) gegeben, dann folgt, da f injektiv ist, dass x1=x2. Analog dazu: Sei y1, y2 aus Y und g(y1)=g(y2), dann folgt aus der Injektivität von g, dass y1=y2. Zunächst folgende Bemerkung: (g°f)(x) steht für g(f(x)), also (g°f)(x)=g(f(x)). Und (ich denke dies ist auch ersichtlich) g°f ist folgende Abbildung: g°f: X -> Z. Um die Injektivität von g°f zu zeigen, müssen wir also folgendes zeigen: Wenn x1, x2 aus X sind und (g°f)(x1)=(g°f)(x2) oder g(f(x1))=g(f(x2)) gilt, dann muss x1=x2 folgen. Bis hier solltest du dir alles klar machen, bevor du weiterliest. Beweis: Seien also x1,x2 aus X und g(f(x1))=g(f(x2)) gegeben. (1) Wir betrachten f(x1) und f(x2). Da sie aus Y sind, schreiben wir f(x1)=y1 und f(x2)=y2, mit y1,y2 aus Y. Wenn wir y1 und y2 nun in (1) einsetzen, erhalten wir: g(f(x1))=g(y1)=g(f(x2))=g(y2), oder g(y1)=g(y2). Da g aber injektiv ist, folgt daraus y1=y2. (Das ist das erste wichtige Zwischenergebnis.) Oder, da y1=f(x1) und y2=f(x2), y1=f(x1)=y2=f(x2). Also, f(x1)=f(x2). Wieder argumentieren wir, wie in dem Fall g(y1)=g(y2): Da f injektiv ist, folgt aus f(x1)=f(x2), dass x1=x2 ist. Nun bist du fertig, weil du ja eben dies zeigen wolltest. Aufgabe b überlasse ich dir mal selbst. Aber zu c noch folgenden Tip: Du kannst c sofort "machen", indem du dich auf a und b und auf die Definition von Surjektivität beziehst: Wenn f und g surjektiv sind, dann sind sie sowohl injektiv wie auch surjektiv. Das sind aber genau die Bedingungen für a und b. Nun kannst du aus a und b folgern: g°f ist auch injektiv und surjektiv. Dies ist aber genau die Definition von Surjektivität. Somit ist g°f surjektiv. Ich hoffe ich habe dir ein Stückchen weiter geholfen. Trotzdem rate ich dir noch folgendes: Lade dir von dieser Seit ein paar Skripte zur Linearen Algebra 1 herunter und vergleiche diese mit der Mitschrift deiner Vorlesung. Dann wird der Stoff vielleicht verständlicher. Viele Professoren beweisen auch Sachen, die andere als Übungsaufgaben geben, sodass du vielleicht Glück haben könntest :) . Aber auf jedenfall solltest du weiter in der Vorlesung mitschreiben, sonst verlierst du den Draht. Ich persönlich fange auch erst an Mathe zu studieren. Ich habe mir folgendes Buch von der Bereichsbibliothek ausgeliehen: Lineare Algebra 1, Jänich, erschienen bei Springer, Auflage 4 Es ist sehr, sehr gut. Besonders für Studienanfänger. Deswegen empfehle ich dir auch das Buch auszuleihen, und parallel zur Vorlesung darin mal reinzuschnuppern. Dies alles natürlich nur, falls du es auch zeitlich schaffst. |
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anonymous 22:54 Uhr, 16.10.2004 |
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| ok, da war einer schneller. ;) | |
anonymous 23:12 Uhr, 16.10.2004 |
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Hi! Ja, ätsch, schneller ;) Hab auch noch n paar Literatur-Tipps: - Fischer, Lineare Algebra (wir waren recht schnell über den Jänich hinaus. Der Fischer geht n Stückchen tiefer. Kommt dann aber erst später. Aber wie gesagt: LinA, nicht Ana...) - Heuser: Analysis 1 & 2 (für Mathematik-Studenten eigentlich Pflichtbücher. Für Lehramt reicht wohl 1. Außer es packt einen irgendwann ;)) Bei mir hats auch erst nach dem dritten Semester so richtig "klick" gemacht. Nach dem ersten schon ein bisschen aber nach dem dritten dann mit voller Wucht. Deshalb auch nur ein Semester Lehramt... Und Himmel, heut bin ich so froh drüber! Ganz in meinem Element ;) Gruß Christina |
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anonymous 23:33 Uhr, 16.10.2004 |
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Danke für die Literaturtips. Ich werde mir dann als nächstes Heuser ausleihen, so wie es aussieht. |
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Hallo Leute, ich bin auch Studienanfänger wie Sandra. Allerdings studiere ich Wirtschaftsinformatik und bei mir steht auch im ersten Semester LA1 an. Ich habe so eine ähnliche Aufgabe wie sie. Es seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen. Es sei g * f surjektiv. Zeigen Sie, dass g surjektiv ist. Folgt auch, dass f surjektiv ist ? (Beweis oder Gegenbeispiel.) Aus der Vorlesung weiß ich, dass bei surjektiv das Bild gleich dem Wertebereich ist. Wenn g surjektiv ist, dann gilt (wie krizzy sagte): z e Z gibt es ein y e Y : g(y) = z Ich weiß jetzt nicht sicher, ob f auch surjektiv sein muss, dass g * f surjektiv ist. Bei der Injektivität müssen g und f ja injektiv sein, dass g * f injektiv ist, weil sonst würden wir haben... f(x1) ≠ f(x2), dann g(f(x1)) ≠ g(f(x2)) Kann mir jemand bei der Surjektivität bisschen helfen? Vielen Dank! |
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Was mir grad eingefallen ist, ist folgendes. Eigentlich könnte man meine Aufgabe so lösen (vielleicht auch die von Sandra?) indem man einen Widerspruch zeigt. Angenommen g wäre nicht surjektiv. Denn dann könnte man mit g nicht jedes Element z erreichen. Wie sollte das aber mit g * f gehen, wo doch g hier zuletzt angewendet wird? Meint ihr das reicht? Oder wie könnte ich das noch "rechnerisch" zeigen? |
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anonymous 18:20 Uhr, 01.11.2004 |
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Hi, mit letzterem schlage ich mich auch gerade rum, habe es aber noch nicht wirklich gezeigt. Dieser kalte, präzise Formalismus, brr. Was ich eigentlich wollte, war einen Literaturtip abgeben. Die o.g. Bücher sind nett, um etwas nachzuschlagen, aber als erstes Buch empfehle ich von Albrecht Beutelspacher "Lineare Algebra". Wie er im Vorwort so schön sagt, eignet sich dieses Buch sehr gut als "erstes Buch". Einfach um etwas in den Stoff rein zu kommen und in die häßliche Formelschreibweise. Ist wie gesagt mein absoluter Tip an Erstis wie mich. Mit den "standardwerken" konnte ich bisher noch nichts anfangen. |
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anonymous 15:38 Uhr, 04.11.2004 |
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besser spät als nie: den beutelspacher kann ich nicht wirklich empfehlen. mag am anfang ganz nett sein, aber da wird einem vorgeführt, dass es einfacher wäre als es wirklich ist und das ist absolut nicht gut! hatte aber auch den vorteil, dass mein prof das mit der formelsprache recht verständlich gemacht hat. dazu aber dann lieber: beutelspacher: "das ist o.b.d.a. trivial" kein fach buch (nicht unbedingt seine stärke) aber ein "erklärungsbuch"... gruß christina |
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