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Beweis kein Isomorphismus zweier Gruppen
Universität / Fachhochschule
Tags: Gruppen, Isomorphismus
 
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Hi, ich soll zeigen, dass zwischen den beiden Gruppen und kein Isomorphismus vorhanden ist. Nun meine Frage: Kann ich an die Aufgabe mit einem Widerspruchsbeweis herangehen? . ich nehme eine Abbildung und und möchte Gruppenhomorphie und Isomorphie zeigen. Wenn ja, wie formuliere ich das dann? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, ein Widerspruchsbeweis ist möglich. Mache dir klar dass zyklisch ist. Wären nun die beiden Gruppen isomorph, so wäre auch zyklisch. Versuche nun daraus einen Widerspruch zu bekommen. Gruß PhantomV |
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Hi, Danke für die Antwort! Ich bin jetzt erstmal anders rangegangen. Ich habe angenommen, dass Surjektivität gilt: Sei aus und aus Q. Es soll gelten Angenommen dann gibt es kein aus für das gilt, da nie die Form haben kann. |
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So geht es leider nicht, denn Surjektivität bedeutet, dass es eine Abbildung gibt, welche surjektiv ist. Für diese Abbildung könnte nun aber auch z.B. f(5)=5/3 gelten. In der Tat gibt es sogar eine bijektive Abbildung zwischen und , beide sind abzählbar. Allerdings gibt es eben keinen Isomorphismus, d.h. die additive Struktur ist hier entscheidend. Man muss also und betrachten, und nicht nur die Mengen und . |
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Hallo TrickStyle, nehmen wir an, es gebe einen Isomorphismus von (Q, +) nach (Z, +) (bzw. umgekehrt). Nehmen wir an, n ist *kein* Teiler von . z1 = f(n * q1 / n) = n * f(q1/n) = n * z2 (bijektive Abbildung von q1/n nach z2 vorhanden) Dann ist n ein Teiler von z1. Widerspruch. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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