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Beweis lineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenvektor

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13:45 Uhr, 11.04.2019

Hallo,

ich habe unteren Beweis gegeben der zeigen soll, dass die Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind.

Mein Problem ist, dass ich noch nicht ganz folgen kann.

Meine Überlegungen.

1. Der Induktionsanfang ist erfüllt, da der erste Eigenvektor linear unabhängig ist(da es ja keinen anderen Eigenvektor gibt und der erste Eigenvektot laut Eigenvektordefinition nicht gleich Null ist)

2. Induktionsschritt:

Hypothese: Es gelte alle Eigenvektoren

v_{i}

für

i = 1, ..., m

sind linear unabhängig

d . h

\sum_{i = 1}^{m} (a_{i} \cdot v_{i}) = 0

ist nur erfüllt für die triviale Lösung

(a_{1}, ... . a_{m} = 0)

Nun muss jagezeigt werden dass dann auch gilt:
Auhch der

m + 1

-te Eigenvektor

v_{m + 1}

ist linear unabhängig von den Eigenvektoren

v_{1}, ..., v_{m}

d . h

\sum_{i = 1}^{m + 1} (a_{i} \cdot v_{i}) = 0

ist nur erfüllt für die triviale Lösung

(a_{1}, ... . a_{m + 1} = 0)

Im Beweis wird diese Bedingung nun noch geschickt umformuliert, sodass nun bewießen werden muss, dass:

0 = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} \cdot (λ_{i} - λ_{m + 1}) \cdot v_{i}

nur erfüllt ist für alle

(a_{1}, ... a_{m} = 0)

Laut Induktionshypothese sind alle Eigenvektoren

v_{1}, ..., v_{m}

linear unabhängig

d . h

. ich kann die Bedingung umformulieren in:

0 = a_{i} \cdot (λ_{i} - λ_{m + 1})

für alle

i = 1, ..., m

darf nur erfüllt sein für alle

(a_{1}, ... a_{m} = 0)

Nun muss sich ja der Eigenwert

λ_{m} + 1

von allen anderen Eigenvektoren

λ_{1}, ..., λ_{m}

unterscheiden, da es ja ansonsten kein neuer Eigenwert ist. Das bedeutet

λ_{i} - λ_{m + 1} \neq 0

für alle

i = 1, ..., m

.

Das bedeutet man muss zeigen, dass:

a_{i} = 0

für alle

i = 1, ..., m

nur dann erfüllt ist, wenn alle

a_{1}, ..., a_{m} = 0

sind.

Das ergibt sich ja trivialerweise aus der Gleichung und damit ist die Aussage gezeigt, dass die Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind. Oder?

Im Musterbeweis leiten sie nun aber noch von der Gleichung

7.3

ab, dass

a_{m + 1} = 0

ist. Muss man das für den Beweis auch noch machen. Und wenn ja, warum?

Vielen Dank vorab :-)

EDIT:
Da fällt mir gerade noch eine Frage ein.
Wenn ein Eigenwert 2 linear unabhängige Vektoren besitzt

(d . h

. die geometrische Vielfachheit von 2 besitzt), sind dann diese 2 Vektoren auch linear unabhängig zu allen anderen Vetoren der restlichen Eigenwerte? Laut der Difinition ist dieser Fall ja nicht mit abgedeckt, da die Definition

m

Eigenwerten

m

Eigenvektoren zuordnet

(d . h

. jeder Eigenwert hat nur einen Eigenvektor).

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 11.04.2019

Hallo
soweit ich sehe ist in dem Skript ein Druckfehler: nach der Differenzbildung muss die Summe weiterhin bis

m + 1

gehen, nicht nur bis

m,

erst dadurch hat man den Beweis, indem man das Glied mit

v_{m + 1}

einzeln dazuschreibt
Gruß ledum

TermX aktiv_icon

17:37 Uhr, 11.04.2019

Hi, danke für deine Antwort.
Ich denke aber so wie es im Skript steht ist es korrekt, da die zwei Gleichungen ober und unterhalb des "sowie" voneinander abgezogen werden. Dann kann man jeweils den Summanden für

(m + 1)

rausziehen und der kürzt sich dann weg.

Das bedeutet damit ist mein Problem noch nicht gelöst. :-)

HAL9000

10:53 Uhr, 12.04.2019

Die Argumente in logische Reihenfolge gebracht: Die Differenzbildung liefert zunächst

1)

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} (λ_{i} - λ_{m + 1}) v_{i}

. Nun ist

λ_{i} - λ_{m + 1} = λ_{m + 1} - λ_{m + 1} = 0

für den letzten Index

i = m + 1

, daher folgt

2)

0 = \sum_{i = 1}^{m} α_{i} (λ_{i} - λ_{m + 1}) v_{i}

.

3) Jetzt greift die Induktionsvoraussetzung, die liefert

α_{i} (λ_{i} - λ_{m + 1}) = 0

für alle

i = 1, \dots, m

.

4) Aus der Verschiedenheit der Eigenwerte folgt

λ_{i} - λ_{m + 1} \neq 0

für alle

i = 1, \dots, m

, und damit wegen 3) dann

α_{i} = 0

.

5) Dies in

\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i} = 0

eingesetzt ergibt

α_{m + 1} v_{m + 1} = 0

und damit schlussendlich auch

α_{m + 1} = 0

.

> Im Musterbeweis leiten sie nun aber noch von der Gleichung 7.3 ab, dass

a_{m + 1} = 0

ist. Muss man das für den Beweis auch noch machen?

Aber ja! Im Induktionsschritt

m \to m + 1

ist zu zeigen, dass aus

\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i} = 0

dann

α_{i} = 0

für alle

i

folgt. Und "für alle" bedeutet

i = 1, \dots, m + 1

, nicht nur

i = 1, \dots, m

. Daher ist auch Schritt 5) notwendig zur Komplettierung des Induktionsschritts.

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15:01 Uhr, 12.04.2019

Achso, jetzt habe ich es verstanden.
Um zu zeigen, dass auch die Summe

\sum_{i = 1}^{m + 1} (a_{1} \cdot v_{1})

nur genau dann

= 0

ist, wenn alle Koeffizienten

a_{1}, ..., a_{m + 1} = 0

sind, berechnen wir einfach das Ergebnis für

\sum_{i = 1}^{m + 1} (a_{1} \cdot v_{1}) = 0

.
Dabei erhalten wir nur eine mögliche Lösung, nämlich

a_{1}, ... . a_{m + 1} = 0

und damit ist der Beweis abgeschlossen.

Stimmts? :-)

TermX aktiv_icon

14:45 Uhr, 17.04.2019

ende

s1reheid aktiv_icon

12:11 Uhr, 08.06.2020

Ich verstehe die einzelnen Schritte des Beweises sehr gut. Meine Frage besteht allerdings darin, wieso ich diese beiden Summen voneinander abziehen kann und dann behaupten darf, dass die vorherige Selektion linear unabhängig ist.
Meines Erachtens könnte man mit genau demselben Vorgehen beweisen, dass 4 Vektoren im

ℝ^{3}

linear unabhängig sind. Ich subtrahiere erst den vierten Vektor von der Summe weg und behaupte dann, dass per Annahme die drei übrig gebliebenen Vektoren ja unabhängig sind woraus dann folgt, dass

λ_{1} = . . . = λ_{3} = 0

und dann bleibt übrig:

λ_{4} \cdot v_{4} = 0

woraus dann trivialerweise folgt, dass

λ_{4} = 0

, also sind vier Vektoren im

ℝ^{3}

linear unabhängig.

Wieso darf ich diesen Schluss bei Eigenvektoren machen und bei allen anderen Vektoren nicht?

HAL9000

16:39 Uhr, 08.06.2020

> und dann behaupten darf, dass die vorherige Selektion linear unabhängig ist.

Die lineare Unabhängigkeit von

v_{1}, \dots, v_{m}

ist die Aussage der Induktionsvoraussetzung. Es ist doch der wesentliche Grund dafür, dass man das ganze als Induktionsbeweis aufzieht, dass man dieses mächtige Pfund im Induktionsschritt

m \to m + 1

einsetzen kann!!!

> Ich subtrahiere erst den vierten Vektor von der Summe weg

Damit veränderst du in deinem konkreten Fall die Summe! Im obigen Beweis wird nur 0-0=0 gerechnet, was soweit Ok weil summenerhaltend ist.

s1reheid aktiv_icon

17:38 Uhr, 08.06.2020

Das Prinzip der vollständigen Induktion habe ich schon verstanden. Aber mit der Art zu beweisen kann ich auch nachweisen, dass

n + 1

Vektoren in einem beliebigen Vektorraum linear unabhängig sind. Siehe hier:

Zu zeigen:

n + 1

Vektoren

v_{1}, . . ., v_{n + 1}

, alle ungleich dem Nullvektor, sind linear unabhängig im

ℝ^{n}

.
Zu beweisen ist also, dass aus

λ_{1} v_{1} + . . . + λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

folgt, dass alle

λ_{i} = 0

.

Induktionsanfang:
Für

k = 1

gilt:

λ_{1} v_{1} = 0 \Rightarrow λ_{1} = 0

.

Induktionsanfang:
Die Annahme gilt für

n

, also:

λ_{1} v_{1} + . . . + λ_{n} v_{n} = 0

folgt, dass alle

λ_{i} = 0

Induktionsschritt:
Wir nehmen an, dass

λ_{1} v_{1} + . . . + λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

Wir subtrahieren hiervon die Gleichung

λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

und erhalten:

λ_{1} v_{1} + . . . + λ_{n} v_{n} = 0

Laut Induktionssanfang gilt aber für diese Gleichung, dass alle

λ_{i} = 0

. Setzen wir das oben ein, so folgt, dass:

0 \cdot v_{1} + . . . + 0 \cdot v_{n} + λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

Woraus direkt folgt, dass

λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

, woraus wir folgern (da nicht der Nullvektor), dass

λ_{n + 1} = 0

.

Somit sind

n + 1

Vektoren im

ℝ^{n}

(oder irgendeinem anders-dimensionalen Vektorraum) linear unabhängig.

Und ich verstehe nicht, warum das hier ja offensichtlich nicht erlaubt ist, aber bei Eigenvektoren schon. Was ist die Eigenschaft, die diesen Beweis "erlaubt"?

michaL aktiv_icon

18:42 Uhr, 08.06.2020

Hallo,

> Was ist die Eigenschaft, die diesen Beweis "erlaubt"?

Im angegebenen Beweis subtrahierst man die Gleichung

λ_{m + 1} 0 = λ_{m + 1} (\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i})

die aus der als wahr angenommenen Gleichung

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i}

entsteht.

Du subtrahierst die Gleichung

0 = λ_{n + 1} v_{n + 1}

, aus der man aber schon im Vorfeld schließen kann, dass

λ_{n + 1} = 0

oder

v_{n + 1} = 0

gilt.

Du schreibst, dass die

v_{i} \neq 0

sein sollen (Vss.). Dann ist automatisch

λ_{n + 1} = 0

zwangsläufig.

Verstehe, was das bedeutet:
Lineare Unabhängigkeit kann man gut wie folgt zuspitzen:

{v_{1}, \dots v_{n}}

sind genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem

0 = \sum_{k = 1}^{n} λ_{k} v_{k}

EINDEUTIG lösbar ist.

Nun kann es ja vorkommen, dass ein solches System (ich erweitere mal auf

n + 1

Vektoren, damit es mehr zu der von dir angeprangerten Situation passt)

0 = \sum_{k = 1}^{n + 1} λ_{k} v_{k}

mehrdeutig lösbar ist (eben genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind).

Dann könnte ja gerade

λ_{n + 1} \neq 0

gelten.
Dann (Vss

v_{n + 1} \neq 0

) wäre aber die Gleichung

λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

aber falsch!

Aus etwas Falschem kannst du alles folgern (auch etwas wieder falsches).

Etwa:

1 = 0 \Rightarrow

Alle Zahlen sind gerade.
Fallunterscheidung:

n = 2 k

ist klar.

n = 2 k + 1 \overset{1 = 0}{=} 2 k

auch.

Fazit: Du subtrahierst eine Gleichung, deren Wahrheitsgehalt nur im Falle von linear unabhängigen Vektoren bewiesen werden kann. Du setzt damit das, was du beweisen willst, schon als Voraussetzung mit ein.

Mfg Michael

s1reheid aktiv_icon

19:16 Uhr, 08.06.2020

Das ist quasi ja mein Punkt. Ich verstehe nicht so recht, warum ich das subtrahieren darf ohne den Wahrheitsgehalt der Ausgangsgleichung in dem Ursprungsbeweis nicht zu gefährden. Wie man ja an meinem Beispiel sieht ist dieses "Gefährden" ja tatsächlich real, es kann ja passieren, dass diese Umformung eben nichts beweist.

(Btw mir ist klar, dass der Satz gilt, ich habe auch schöne Beweise mit Basistransformationen und so gesehen, nur dieser hier scheint mir echt komisch.)

michaL aktiv_icon

20:41 Uhr, 08.06.2020

Hallo,

im gegebenen Beweis wird von der Gleichung

\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i} = 0

(7.3)
ausgegangen.

Die Gleichung hat stets wenigstens die Lösung

α_{1} = \dots = α_{m + 1} = 0

. Sie ist also war. (Genau genommen soll sie wahr sein. Man will daraus ableiten, dass es nur die triviale Lösung gibt.)

Nun kann man (7.3) einmal mit der Matrix

A

von links und einmal mit

λ_{m + 1}

multiplizieren. Dadurch bleiben die Gleichungen weiterhin wahr.
Es ergeben sich:

0 = λ_{m + 1} 0 = λ_{m + 1} (\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} λ_{m + 1} v_{i}

und

0 = A \cdot 0 = A \cdot (\sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} \cdot A v_{i} \overset{v_{i} EV zu EW λ_{i}}{=} \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} λ_{i} v_{i}

Diese beiden Gleichungen sind wahr (da sie von einer wahren Gleichung abgeleitet werden). Ihre Differenz ist also auch wahr:

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} λ_{m + 1} v_{i}

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} λ_{i} v_{i}

Differenz:

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} (λ_{m + 1} - λ_{i}) v_{i} = \sum_{i = 1}^{m} α_{i} (λ_{m + 1} - λ_{i}) v_{i}

Bei dem von dir vorgelegten Beweis bemängele ich, dass zwar die Gleichung

0 = \sum_{k = 0}^{n + 1} λ_{k} v_{k}

wahr ist, die Gleichung

λ_{n + 1} v_{n + 1} = 0

aber eben unter der Voraussetzung

v_{n + 1} \neq 0

nur gerade genau dann, wenn

λ_{n + 1} = 0

gilt, was du im Induktionsschritt aber gerade erst beweisen willst.

Merkst du nicht, dass deine Vorgehensweise sich signifikant von der oberen unterscheidet?

Mfg Michael

HAL9000

11:11 Uhr, 09.06.2020

Ja, das ist sicher ein berechtigter Kritikpunkt am Eröffnungsposting und auch meiner Beweisdarstellung oben:

Dass da nicht darauf eingegangen wurde, woher dieses

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} λ_{i} v_{i}

eigentlich stammt. Das hat michaL nun nachgeholt: Es entsteht durch Links-Multiplikation der Matrix

A

an die Gleichung

0 = \sum_{i = 1}^{m + 1} α_{i} v_{i}

(die ja der Ausgangspunkt im Induktionsschritt

m \to m + 1

ist) mit anschließender Nutzung der Eigenvektor-Eigenschaft

A \cdot v_{i} = λ_{i} v_{i}

s1reheid aktiv_icon

13:24 Uhr, 09.06.2020

Jetzt habe ich es verstanden, danke!
Im Endeffekt ist der große Unterschied, dass ich dieselbe Gleichung mit zwei unterschiedlichen Sachen multipliziere und dank der EV und EW Eigenschaften bzgl der Matrix in jeder Gleichung dieses

λ_{n + 1} v_{n + 1}

auftaucht, was ich dann durch das Subtrahieren los werde.

Das klappt natürlich so dann nicht mit jeder x-beliebigen Selektion an Vektoren.

Vielen Dank! :-)

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