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Beweis: spur (AB) = spur (BA) ; Matrizen

Universität / Fachhochschule

22:01 Uhr, 09.05.2011

Hallo, habe bei folgender Frage keinen Ansatz:

Sei A = $(a_{j, k})$ eine n x n Matrix. Die Spur von A wird definiert durch

spur(A) = $\sum_{j = 1}^{n} a_{j, j}$ . Man zeige, dass für n x n Matrizen A,B gilt:

spur(AB)= spur (BA).

Kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

22:49 Uhr, 09.05.2011

Hallo,
sei:

A B = (c_{i j}), B A = (d_{i j}), i, j = 1, . ., n

mit:

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}, d_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j}

also:

c_{i i} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}, d_{i i} = \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j}

Wie sieht denn jetzt

s p (A B)

und

s p (B A)

aus?

19:18 Uhr, 10.05.2011

Muss man dann einfach $c_{i, i}$ und $d_{i, i}$ gleichsetzen:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}$ = $\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j}$

19:46 Uhr, 10.05.2011

Für

s p (A B)

gilt ja:

s p (A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}

du musst jetzt die Doppelsumme entsprechend umformen um

s p (B A)

zuerhalten.

21:37 Uhr, 10.05.2011

sp(BA) = $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k i}$ ? Und wie soll ich dann weiter vorgehen?

12:30 Uhr, 11.05.2011

Genau,
es gilt:

s p (A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i k} b_{k i} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{k i} a_{i k} = s p (B A)

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