Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis von Aussagen zu Eigenwerten und -vektoren

Beweis von Aussagen zu Eigenwerten und -vektoren

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

anonymous

11:51 Uhr, 25.04.2021

Es sei

K

ein Körper und

A \in K^{n x n}

. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a)

Es sei

λ \in K

ein eigenwert von A und

v

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ

. Dann ist

λ

auch ein Eigenwert von

A^{t}

(der transponierten Matrix) und

v

ist ein Eigenvektor von

A^{t}

zum Eigenwert

λ

b)

Es sei

λ \in K

ein Eigenwert von A und

v

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ

. Für jedes

k \in ℕ

ist

λ^{k}

ein Eigenwert von

A^{k}

und

v

ist ein Eigenvektor von

A^{k}

zum Eigenwert

λ^{k}

c)

Es existiere eine Zahl

k \in ℕ,

sodass

A^{k} = 0

ist (solche Matrizen heißen nilpotent). Beweisen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von A ist.

d)

Es sei

K = ℂ,

aber

A \in ℝ^{n x n}, d . h

. A habe nur reelle Einträge. Es sei

λ \in ℂ ℝ

ein Eigenwert von A und

v

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ

. Dann ist

λ ⋆

auch ein Eigenwert von A und

v ⋆

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ ⋆

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

11:56 Uhr, 25.04.2021

a)

Man kann denke ich mal davon ausgehen, dass bekannt ist, dass die Determinante einer Matrix A identisch ist mit der Determinante der transponierten Matrix A.

Um nun die Eigenwerte

λ

auszurechnen, berechnen wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Da die Diagonale einer quadratischen Matrix immer identisch ist, und die Determinanten ebenfalls identisch sind, bekommen wir immer dieselben Eigenwerte von einer Matrix A und ihrer transponierten raus. Allerdings sind die Vektoren verschieden.
Ich habe hier einfach ein Gegenbeispiel gebracht mit einer

2 x 2

Matrix. Kann man das aber noch verallgemeinern für alle Matrizen?

(Mein Beispiel):

A = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 9 & 6 \end{matrix})

X (A) = (\begin{matrix} 3 - λ & 0 \\ - 9 & 6 - λ \end{matrix})

| X (A) | = 0

ergibt:

λ_{1} = 6

λ_{2} = 3

Eigenwerte sowohl von A als auch

A^{t}

sind also 6 und 3.

Wenn man nun 6 einsetzt in

X (A)

und löst

X (A) \cdot x = 0

erhält man einen anderen Vektor als wenn man 6 einsetzt in

X (A^{t}) \cdot x = 0

(Die beiden Vektoren sind auch keine Vielfachen voneinander). Damit ist ja dann gezeigt, dass der passende Eigenvektor für einen Eigenwert sich unterscheidet.

anonymous

12:19 Uhr, 25.04.2021

c)

Hier kann man mit der Definition arbeiten.

Sei A eine nilpotente Matrix, so gilt

A^{k} = 0

. Sei weiter

λ

ein Eigenwert von A und

v

ein Eigenvektor von A zu

λ

.

Es ist:

A \cdot v = λ \cdot v

und da unsere Matrix ja nilpotent ist, muss:

0 = A^{k} \cdot v = λ^{k} \cdot v

v

aber nicht der Nullvektor sein darf laut Definition eines Eigenvektors, muss

λ^{k} = 0

und das ist nur erfüllt, wenn

λ = 0

.

Somit ist 0 der einzige Eigenwert von A

anonymous

12:46 Uhr, 25.04.2021

b)

Hier habe ich mich mit Induktion versucht.

Definition:

A \cdot v = λ \cdot v

Zu zeigen ist nun, dass

A^{k} \cdot v = λ^{k} \cdot v

für alle

k \in ℕ

Induktionsanfang: Die Behauptung gilt für

k = 1

nach Definition und für

k = 2

A^{2} \cdot v = A \cdot A \cdot v = A \cdot λ \cdot v = λ \cdot A \cdot v = λ \cdot λ \cdot v = λ^{2} \cdot v

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein beliebiges, festes

k \in ℕ

Induktionsschritt: Die Behauptung gilt für jedes

k

.

Sei

k \to k + 1

Dann:

A^{k + 1} \cdot v = A^{k} \cdot A \cdot v = A^{k} \cdot λ \cdot v = λ \cdot A^{k} \cdot v = λ \cdot λ^{k} \cdot v = λ^{k + 1} \cdot v

Damit ist

λ^{k}

ein Eigenwert von

A^{k}

und

v

ein Eigenvektor von

A^{k}

zum Eigenwert

λ^{k}

q . e . d

\to

Stimmt mein Beweis für Aufgabe

b)

ermanus aktiv_icon

13:44 Uhr, 25.04.2021

Hallo,
ich finde, dass du das alles richtig gemacht hast.
Gruß ermanus

anonymous

13:46 Uhr, 25.04.2021

Zu d)
Die Aufgabenstellung oben ist etwas falsch, sie lautet:

Es sei

K = ℂ

, aber

A = ℝ^{n x n} .

, d.h.

A

habe nur reelle Einträge. Es sei

λ \in ℂ \ ℝ

ein Eigenwert von

A

und

v

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ

. Dann ist

\bar{λ}

auch ein Eigenwert von

A

und

\bar{v}

ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert

\bar{λ}

Wir benutzen wieder die Definition

A * v = λ * v

, wobei A

\in

R^{n x n}

Wir können die Gleichung komplex konjugieren und erhalten:

\bar{A * v} = \bar{λ * v}

Rechenregeln angewandt ergibt:

\bar{A} * \bar{v} = \bar{λ} * \bar{v}

A

aber reell ist, erhalten wir

\bar{A} = A

-> und daraus folgt die Behauptung

A * \bar{v} = \bar{λ} * \bar{v}

q.e.d

ermanus aktiv_icon

13:58 Uhr, 25.04.2021

Ist ebenfalls korrekt :-)

1534309

1534303

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?