 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Beweis von "Menge einfach zusammenhängend"
Beweis von "Menge einfach zusammenhängend"
Universität / Fachhochschule
Komplexe Analysis
Tags: einfach zusammenhängend, Komplexe Analysis, offene Mengen
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen, ich brauche dringend Hilfe dabei, wie man zeigen kann, ob Mengen "einfach zusammenhängend" sind... An sich habe ich die Definition über die Nullhomotopie verstanden. Anschaulich ist mir in den meisten Fällen klar, welche Mengen einfach zusammenhängend sind und welche nicht. Aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich das beweise, d.h. wie ich eine Homotopie angeben kann, sodass ich sagen kann, alle stetigen, geschlossenen Wege sind nullhomotop. Es geht mir insbesondere um Gebiete, die NICHT sternförmig sind. (Sternförmigkeit kann man ja relativ einfach zeigen, und die impliziert ja dann "einfach zusammenhängend"). Ich habe hier mal die Gebiete aufgeschrieben, an denen ich aktuell scheitere: 1) { } (Im(z) ist der Imaginärteil) 2) { } für stetig Die Mengen 1) und 2) sind glaube ich offen, nicht sternförmig, aber einfach zusammenhängend. Wäre froh, wenn mir jemand verraten könnte, wie ich solche Beweise führe. Komme weder mit direkten Ansätzen, Kontraposition noch Widerspruch voran. Im Internet finde ich leider keine brauchbaren Beispiele zum Üben. Und die Vorlesung liefert blöderweise nur die ganz einfachen Beispiele... Danke schon mal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo Fliege, in 1) vermute ich bei der Schreibweise , dass es sich um das Vollquadrat mit den Ecken handeln soll. Liege ich da richtig? Wenn ja, ist die angegebene Menge sternförmig. Gruß ermanus |
|
|
|
Zu 2) Sei die in Frage stehende Menge, und die offene obere Halbebene. Dann ist ein Homöomorphismus. Zu einer Schleife betrachte man die Bildschleife . Da sternförmig ist, ist diese nullhomotop, also ... Gruß ermanus |
 |
|
Vielen Dank! Den Tipp zu 2) muss ich mal durchrechnen. Habe schon geahnt, dass es ein paar Tricks erfordert, wie eben solche Verknüpfungen. Zu 1): Eigentlich ist das Quadrat mit den Eckpunkten (-1,-i), (-1,i), (1, i), (1, -i) gemeint. Also aus der oberen Halbebene wird ein Rechteck herausgeschnitten, kein Dreieck. Da hätte man ja gewissermaßen immer einen toten Winkel, egal welchen Punkt man nimmt. Mit einem Dreieck wäre es natürlich sternförmig, weil man sich ja quasi nur über die in die Halbebene hineinzeigende Ecke stellen müsste, um alle Punkte zu sehen. |
|
|
|
Ja, sternförmig ist diese Menge (sie heiße N) nicht, aber "fast". Eine Schleife ist kompakt, daher hat sie vom Rand von einen positiven Abstand. Man sollte also eine sternförmige Teilmenge von finden können, indem man das Sternzentrum auf der imaginären Achse so hoch ansetzet, dass die Schleife ganz darin liegt, also keiner der Schleifenpunkte im toten Winkel liegt. Dies formal auszudrücken ist sicher ein bisschen aufwändiger. Man muss diese sternförmige Teilmenge für jede Schleife individuell wählen. Eine für alle Schleifen zugleich geeignete sternförmige Menge gibt es nicht, eben wegen des toten Winkels ;-) |
|
|
|
Oh, dann habe ich mir mit 1) wohl selbst ein Bein gestellt... die Menge habe ich mir selbst ausgedacht und bin dann daran verzweifelt... Gibt es zufällig eine "einfache" Menge, die nicht sternförmig, aber einfach zusammenhängend ist? (Außer der in 2)). Zu 2). Ich wage zu hoffen, dass ich beginne, es zu verstehen... ich habe mir folgendes überlegt: Da nullhomotop ist, gilt für eine holomorphe Funktion . Da F und h holomorph sind ist auch holomorph. Also ist auch nullhomotop und somit M einfach zusammenhängend. Stimmt das so, oder habe ich einen völligen Denkfehler/etwas nicht verstanden? Sollte es so stimmen, verstehe ich allerdings nicht, warum es wichtig ist, dass F ein Homöomorphismus ist. Würde nicht ausreichen, dass F bijektiv und stetig (und holomorph) ist? Warum ist es wichtig, dass auch die Umkehrfunktion stetig ist? Oder ist die Stetigkeit der Umkehrfunktion einfach etwas, was F nunmal so mit sich bringt, aber keine Rolle für die Fragestellung spielt? |
|
|
|
Hallo, dein Integralargument funktioniert nicht. Zwar kann man aus der Nullhomotopie einer Schleife darauf schließen, dass das Integral einer holomorphen Funktion längs des Weges = 0 ist, aber nicht umgekehrt aus dem Nullsein des Wegeintegrals auf die Nullhomotopie des Weges schließen: nimm als Integranden die Null-Funktion. Wenn das so wäre, würde jeder geschlossene Weg nullhomotop in jedem Bereich sein. Ich denke, du musst die Definition der Homotopie benutzen; denn was wir hier erörtern, ist ja ganz unabhängig davon, ob wir die Menge als Teilmenge von oder auffassen. Homotopie ist kein funktionentheoretischer Begriff, sondern ein rein topologischer. Gruß ermanus |
|
|
|
Hallo, danke nochmal. Vielleicht hab ich es jetzt: Ich habe mir die Definition der Nullhomotopie von aufgeschrieben, mit Darauf kann man jetzt anwenden (existiert ja, weil F ein Homöomorphismus ist): mit Weil als Komposition stetiger Funktionen stetig ist und bijektiv ist, weshalb nur eine Lösung hat, ist die Nullhomotopie von . Ist das so richtig? |
|
|
|
Das sieht prima aus :-) So hatte ich mir das vorgestellt. Gruß ermanus |
 |
|
Danke! Jetzt ist es klarer! |
1500596
1500102