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Beweis zu Diagonalisierbarkeit, Dreiecksmatrix, Äh
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Ähnlichkeit, Diagonalisierbarkeit, Dreiecksmatrix, Matrizenrechnung
 
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Es soll gezeigt werden, dass es eine diagonalisierbare Matrix und eine strikte untere Dreiecksmatrix mit gibt, so dass ähnlich zu ist. Eine quadrat. Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, also so dass gilt bzw. . Ich grübel nun schon ne Weile an dieser Aufgabe und finde keinen Einstieg... kann jemand helfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi, ich habe erst einmal ein paar Fragen: Ist mit die Menge der quadratischen Matrizen mit komplexen Einträgen gemeint? ist wahrscheinlich beliebig... Eine strikte untere Dreiecksmatrix bedeutet wahrscheinlich, dass auf der Diagonalen der Matrix nur Nullen stehen sollen, oder? Und letztendlich heißt es wahrscheinlich , oder? ;-) Lieben Gruß Sina |
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<ich habe erst einmal ein paar Fragen: Ist mit Cxn×n die Menge der quadratischen <Matrizen mit komplexen Einträgen gemeint? A ist wahrscheinlich beliebig... Genau... das "x" gehörte dort nicht hin... habs entfernt:-) <Eine strikte untere Dreiecksmatrix bedeutet wahrscheinlich, dass auf der Diagonalen der <Matrix nur Nullen stehen sollen, oder? Genau... oberhalb der Hauptdiagonalen + auf der Diagonalen, also <Und letztendlich heißt es wahrscheinlich DN=ND, oder? ;-) Genau... auch korrigiert :-) Danke schon mal:-) |
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Wieviel weißt du denn über Trigonalisierung? Das wäre meiner Meinung nach der vielversprechenste Einstieg in die Aufgabe. |
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Trigonalisierung haben wir in der Vorlesung noch nicht behandelt, meine Kenntnisse sind daher eher mager. Geht deine Idee in die Richtung zu zeigen, das trigonalisierbar ist? |
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Nein, dass trigonalisierbar ist, denn dann kann man diese obere Dreiecksmatrix in zerlegen, wobei eine strikte OBERE Dreiecksmatrix ist, man ist aber schon mal einen Schritt weiter... Hm... dann muss ich auch erst mal etwas nachdenken :-) |
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Also wenn die diagonalisierbare Matrix ist, wie leitest du her, dass gilt? |
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Wenn T eine obere Dreiecksmatrix ist, dann nimmst du einfach mit der Diagonalen von und mit dem Rest von . Wenn du das dann zusammenaddierst bekommst du ganz natürlich wieder die Matrix T. |
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Hallo, vielleicht kann ich hier übernehmen. Mir ist so, als hätten wir damals an entsprechender Stelle ebenso eine Aufgabe in den Wochenübungen gehabt. Das kann ich ich momentan allerdings nicht nachprüfen. Ich denke aber, die Lösung auch so hinzukriegen. Da gilt, zerfällt das charakteristische Polynom von (in Linearfaktoren). Demnach kann man für die Jordansche Normalform aufstellen. Ob man die nun mit Einsen oberhalb der Diagonalen macht oder unterhalb ist eher eine Frage der Präferenz. Daher nehme ich mal an, dass ihr gerade bei der Jordanschen Normalform seit und diese die Eigenwerte auf der Diagonalen und Einsen höchstens direkt unterhalb der Hauptdiagonalen trägt. Stimmt das? Dann kann man die Jordanmatrix zu nämlich in eine Diagonalmatrix und einer echten unteren Dreiecksmatrix zerlegen. Das einzige, was zu prüfen ist, ist die Gleichung , was aber wegen der besonderen Form von als Diagonalmatrix und als Differenz zur Jordanform nicht weiter schwierig sein sollte. Man bedenke, dass die Einsen nur in einem Dreieck vorkommen, indem auf der Diagonalen die gleichen (!) Eigenwerte von stehen. Gemeint istin der Jordanmatrix solche Konfiguration: 1 HTH, wie man so schön sagt! Mfg MIchael |
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