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Beweis zum S-Distributivgesetz

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Vektorprodukt

Tags: Distributivgesetz, Skalar, Vektor, Vektorprodukt

anonymous

12:49 Uhr, 30.01.2010

Hallo!

Also folgende Aufgabe:

Begruenden Sie, dass fuer jeden Vektor a und fuer alle Werte von

r

Element Menge der reellen Zahlen und von

s

Element Menge der reellen Zahlen stets

(r + s) a =

ra+sa gilt.

Dass es das Distributivgesetz ist, ist klar. Aber wie soll man das beweisen?

Danke schon mal!

Lg
Heptakube

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung
Rechnen mit Klammern
Rechnen mit Vektoren - Einführung

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Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung
Rechnen mit Klammern

mathworm aktiv_icon

12:59 Uhr, 30.01.2010

Fang doch einmal so an, dass du dir aufschreibst, was die beiden Seiten der Gleichung ergeben. Also:

(r + s) \cdot (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{n} \end{array}) = . . .

Als Beweis reicht eine Kette von Gleichheiten (Gleichheitszeichen), bei der du von einer Seite zur anderen kommst. Und du darfst natürlich verwenden, dass das Distributivgesetz für die reellen Zahlen gilt.

anonymous

11:29 Uhr, 31.01.2010

$(r + s) (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a 1 \\ a 2 \end{matrix} \\ ... \end{matrix} \\ a n \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} r a 1 \\ r a 2 \end{matrix} \\ ... \end{matrix} \\ r a n \end{matrix}) + (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} s a 1 \\ s a 2 \end{matrix} \\ ... \end{matrix} \\ s a n \end{matrix}) = r (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a 1 \\ a 2 \end{matrix} \\ ... \end{matrix} \\ a n \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a 1 \\ a 2 \end{matrix} \\ ... \end{matrix} \\ a n \end{matrix})$

Wenn ich das also richtig verstanden und gemacht habe, sollte das hier also der Loesungsweg sein?

Leider muss ich mir selber widersprechen, da ich in diesem Schritt das Distributivgesetz verwenden musste, welches ich aber zuerst noch beweisen muss. D.h. ich habe nur eine Behauptung und noch immer keinen Beweis, oder?

mathworm aktiv_icon

16:36 Uhr, 02.02.2010

Die entscheidende Frage ist WELCHES Distributivgesetz du verwendet hast und das war nicht das Distributivgesetz für die Multiplikation von Skalaren r,s und einem Vektor a, sondern das Distributivgesetz für reelle Zahlen

r, s, a_{1}, a_{2}, . . . a_{n}

(r + s) \cdot (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{n} \end{array})

= (\begin{array}{rcl} (r + s) \cdot a_{1} \\ (r + s) \cdot a_{2} \\ . . . \\ (r + s) a_{n} \end{array})

= (\begin{array}{rcl} r a_{1} + s a_{1} \\ r a_{2} + s a_{2} \\ . . . \\ r a_{n} + s a_{n} \end{array})

= (\begin{array}{rcl} r a_{1} \\ r a_{2} \\ . . . \\ r a_{n} \end{array})

+ (\begin{array}{rcl} s a_{1} \\ s a_{2} \\ . . . \\ s a_{n} \end{array})

= r \cdot (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{n} \end{array})

+ s \cdot (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{n} \end{array})

anonymous

16:38 Uhr, 02.02.2010

Ok, verstehe! Danke fuer die Hilfe!

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