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Beweis zur Geradenspiegelung
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Geometrie, Geradenspiegelung, Isometrie
 
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Gegeben seien Geraden und . Angenommen es gibt einen Punkt mit ∩h∩k dann gibt es eine Gerade ℓ mit ∈ ℓ und es gilt fg◦fh◦fk = fℓ, wobei fg,fh,fk,fl die jeweiligen Geradenspiegelungen an den Geraden sind. (ii) Angenommen es gibt eine Gerade so dass und senkrecht auf stehen, dann gibt es eine weitere Gerade ℓ mit ℓ ⊥ und es gilt fg◦fh◦fk = fℓ. Wir sollen die Aussage (ii) beweisen und als Hinweis haben wir bekommen, dass wir den Beweis für nur anpassen müssen, um den Beweis für (ii) zu kriegen, aber ich weiß einfach nicht, wie wir den anpassen sollen- Beweis zu . Setze Φ fg◦fh◦fk. Wähle ∈ mit ungleich und setze Φ(P). 1. Fall: dann definiere ℓ (ZP). 2. Fall: ungleich dann definiere ℓ als Mittelsenkrechte der Strecke P′ Da ∈ ∩ ∩ nach Voraussetzung, folgt Φ(Z) und somit P′).Mit der Eigenschaft der Mittelsenkrechten schließen wir, dass ∈ ℓ in diesem Fall. Fur die Verknüpfung Ψ fl◦ Φ gilt Ψ(Z) = fℓ(Φ(Z)) = fℓ(Z) Ψ(P) = fℓ(Φ(P)) = fℓ(P')= . Somit ist die Abbildung Ψ entweder die Identität oder die Geradenspiegelung an der Geraden (ZP) . Angenommen Ψ = fk, dann gilt nach Einsetzen der Definition fℓ◦fg ◦fh ◦fk =fk ⇒ fg◦fh =fℓ Das steht im Widerspruch zur Eigenschaft, dass zwei verknüpfte Geradenspiegelungen keine neue Geradenspiegelung ergeben. Es muss also gelten, dass Ψ die Identität ist. Damit gilt nach Einsetzen der Definition fℓ◦fg◦fh◦fk = id ⇒fg◦fh fk = fℓ. Damit wurde der Punkt gezeigt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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