Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis zur Teilbarkeit durch 3 wenn 3|Ziffernsumme

Beweis zur Teilbarkeit durch 3 wenn 3|Ziffernsumme

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Kongurenzen, Teilbarkeit durch 3

stefan08 aktiv_icon

20:13 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

ich versuche zu beweisen, dass a∊N genau dann durch 3 teilbar ist, wenn 3 die Ziffernsumme(a) teilt.
Mein Ansatz wäre zu beweisen das: Ziffernsumme(a)≡a

mod 3

stimmt.

Hat von euch wer eine Idee wie man das beweisen kann?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeitsregeln

Bummerang

21:46 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

jede Zahl a läßt sich wie folgt darstellen:

a = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot 10^{k}

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot (1 + 10^{k} - 1)

= \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} + a_{k} \cdot (10^{k} - 1))

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot (10^{k} - 1)

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cdot \sum_{l = 0}^{k - 1} 9 \cdot 10^{l})

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cdot 9 \cdot \sum_{l = 0}^{k - 1} 10^{l})

= \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + 9 \cdot \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \cdot \sum_{l = 0}^{k - 1} 10^{l})

Der zweite Summand ist immer durch drei teilbar, die Zahl a ist somit genau dann durch 3 teilbar, wenn auch der erste Summand durch 3 teilbar ist. Der erste Summand ist aber nichts anderes als die Quersumme.

stefan08 aktiv_icon

22:20 Uhr, 26.10.2013

Vielen Dank das ist eine einfach verständliche Lösung

1121192

1121175

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?