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Beweisaufgabe: Assoziativ / Kommutativ / Ring

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Vektorraum

Farbenfroh aktiv_icon

13:17 Uhr, 14.06.2014

Hallo!
Wir hängen gerade an einer kleinen Beweisaufgabe fest, da wir nicht genau wissen, wie wir mit der hier definitieren Multiplikation (Kreuzprodukt) das Assoziativgesetz beweisen / widerlegen können.

Betrachte

(R)^{3}

mit der üblichen Addition von Vektoren und der wie folgt definierten Multiplikation von Vektoren.

a x b = (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) x (\begin{array}{rcl} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array})

a) Beweisen oder widerlegen Sie: Für diese Multiplikation gilt das Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz ist schon klar: a * (b * c) = (a * b) * c

Sind dann wie folgt vorgegangen: Haben das ganze einfach umgedreht: (a*b)*c = a*(b*c):

(\begin{array}{rcl} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array})

(\begin{array}{rcl} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array})

Was als Kreuzprodukt dann wäre:

(\begin{array}{rcl} ((a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) * c_{3}) - ((a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) * c_{2}) \\ ((a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) * c_{1}) - ((a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) * c_{3}) \\ ((a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) * c_{2}) - ((a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) * c_{1}) \end{array})

Ist das soweit korrekt?
Jetzt hängts daran, dass wir irgendwie keine Ahnung haben, wie man das a mit dem c ausgetauscht bekommt!? Bei der "normalen" Multiplikation würden wir das hinkriegen aber hier haben wir grad eine kleine Denkblockade!? Oder sind ganz auf dem Holzweg.

Kann man die c`s jetzt einfach in die Klammern ziehen?
Also:

(\begin{array}{rcl} ((a_{3} b_{1} c_{3} - a_{1} b_{3} c_{3}) - ((a_{1} b_{2} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{2}) \\ ((a_{1} b_{2} c_{1} - a_{2} b_{1} c_{1}) - ((a_{2} b_{3} c_{3} - a_{3} b_{2} c_{3}) \\ ((a_{2} b_{3} c_{1} - a_{3} b_{2} c_{2}) - ((a_{3} b_{1} c_{1} - a_{1} b_{3} c_{1}) \end{array})

Aber das bringt einem ja nix, da man jetzt in jeder Klammer 2x den selben c-Wert hat und nicht weiter umformen kann!?

Freue mich sehr über Hilfe / Hinweise

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

DrBoogie aktiv_icon

13:22 Uhr, 14.06.2014

Und wieder hilft die Wikipedia!
Aus de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt:
"Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ."

Also reicht es, ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Ich schlage vor, so ein Tripel zu nehmen:

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)

Farbenfroh aktiv_icon

14:59 Uhr, 14.06.2014

Ah okay, super vielen Dank ;-)

Die nächste Frage lautet, ob es sich um einen Ring handelt und ob er Nullteiler besitzt. Diese Frage kann man dann auch verneinen, da ein Ring das Assoziativgesetz erfüllen muss und somit gleichzeitig auch den Nullteiler ausschließen, oder?

Danke für die Hilfe!

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