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Beweise: MN=NM

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Körper

Tags: Körper

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15:18 Uhr, 18.01.2014

Hallo alle miteinander,

wie oben angegeben, soll ich zeigen, dass

M \cdot N = N \cdot M

gilt, wobei

M, N \in K^{n x n}

mit

n \in ℕ

gilt.

K

stellt einen Körper da. Weitere Information über

M

und

N :

M \cdot N + M + N = 0

Meine Ideen:

Ich hab mir zuerst zwei allg. Matrizen für

M, N \in K^{2 x 2}

überlegt mit den Elementen

a_{11}

bis

a_{22}

bzw

b_{11}

bis

b_{22}

. Hab dann einfach mal nur

- 1

eingesetzt und es ging auf. Dann ist klar, dass

N \cdot M = M \cdot N

gilt, weil beide Matrizen aus den gleichen Elementen bestehen. Sobald aber alle Elemente die 2 entsprechen geht es nicht mehr auf. Wie beweise ich aber, dass es nicht nur für

- 1

gilt oder dass es nicht nur für 2x2-Matrizen sondern für alle

n \in ℕ

gilt? Ich hätte da bspw. an vollständiger Induktion gedacht: Induktionsanfang mit

n = 1

ist trivial, wie würde ich dann aber

n + 1

zeigen? Fragen über Fragen :-D)

Über ein paar hilfreiche Tipps würde ich mich wieder freuen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

16:12 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

könntest du bitte die Originalaufgabe (am besten als Scan) anhängen?!

Mfg Michael

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16:36 Uhr, 18.01.2014

Bitte schön :-)

michaL aktiv_icon

16:56 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

danke.

Entschuldige, ich dachte, du habest noch etwas vergessen mitanzugeben.
Ich meine mich zu erinnern, dass ich diese Aufgabe während des Studiums zu lösen hatte. Ich kann mich aber adhoc nicht erinnern. Dauert also u.U. etwas.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

17:07 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

ok, nachschlagen war nicht nötig.

Wenn du erst einmal nur einen Tipp willst: Versuche die Ausgangsgleichung zu faktorisieren!

Mfg Michael

matusema aktiv_icon

17:53 Uhr, 18.01.2014

Sorry, dass ich nicht gleich geantwortet habe.

Also du meinst MN+M+N=0?

Ich könnte das jetzt so ausklammern

M (N + 1) + N = 0

.

Ich hab da jetzt mal was versucht:

M (N + 1) + N = N + M (N + 1) =

N+MN+M

= N (M + 1) + M =

NM+N+M = NM+M+N

Und somit gilt: MN+M+N=NM+M+N

\Rightarrow

MN=NM aber ist das wirklich ein Beweis? Bzw setze ich nicht zB Kommutativität bereits voraus? Was ja im Körper ja gilt, aber dann könnte ich doch gleich behaupten, dass MN = NM und das kann ja nicht das Ziel sein.

Edit: ne, das geht doch nicht. wegen dem 3. Schritt, da setzte ich ja NM=MN bereits voraus.

michaL aktiv_icon

18:05 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

gut.

Kannst du (evtl. durch einen Trick) weiter faktorisieren?

Mfg Michael

matusema aktiv_icon

18:12 Uhr, 18.01.2014

Ich überleg mir jetzt mal einen Trick :-)

michaL aktiv_icon

18:15 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

hm, der Trick ist schon "naheliegend".

In

M (N - " 1 ") + N = 0

aus dem

N

ein

M

machen zu wollen (damit man weiter ausklammern kann), scheint mir, als wolle man mir ein X für ein U vormachen.

Dann bleiben ja nicht viele Möglichkeiten...

Übrigens musst du wegen der "1" aufpassen. Wenn du damit das richtige meinst, ist alles gut. Wenn nicht, wird es vermutlich nicht klappen.

Mfg Michael

matusema aktiv_icon

18:23 Uhr, 18.01.2014

Ist dein erster Teil vom letzen Kommentar ein Hinweis auf einen vorherigen Fehler von mir oder ein Hinweis auf den "Trick" :-)

Klar, es ist sehr ungeschickt, das Teil eine 1 zu nennen. Ich meine nat. die Einheitsmatrix damit. :-)

michaL aktiv_icon

18:38 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

war ein Hinweis auf den Trick.

Wenn du das mit der Einheitsmatrix selbst im Blick hast, dann ist alles gut. Darauf bezog sich aber nur der zweite Teil.

Mfg Michael

matusema aktiv_icon

18:54 Uhr, 18.01.2014

Gibt es einen bestimmten Grund warum du in deinem vorletzten Kommentar schreibst "M(N-"1")" statt M(N+"1")?

"Wenn nicht, wird es vermutlich nicht klappen." Daraus schließe ich jetzt mal, dass die Einheitsmatrix der Schlüssel zum Erfolg ist. Aber ich komm jetzt leider echt nicht darauf.

Jetzt hab wieder etwas versucht:

I:= Einheitsmatrix

X := I + \frac{I}{N}

M \cdot N + M + N =

M (N + I) + N =

M (I + \frac{I}{N}) \cdot N + N =

M \cdot X \cdot N + N =

(funkt. dieser Schritt zB eigentlich?)

N \cdot (M \cdot X + I) =

N \cdot M \cdot (I + \frac{I}{N}) =

N \cdot M + M + N

und nach dem das ja gleich

M \cdot N + M + N

ist würde daraus folgen, dass MN=NM

michaL aktiv_icon

19:15 Uhr, 18.01.2014

Hallo,

nein, kein anderer Grund als vertippt.

Ich verwende auch gern

1

als Abkürzung für die entsprechende Einheitsmatrix.

Also:

M N + M + N = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} M (N + 1) + N = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} M (N + 1) + N + 1 = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} (M + 1) (N + 1) = 1

Daraus kannst du die Behauptung ableiten. Überlege bitte selbst, wie das geht!

Mfg Michael

matusema aktiv_icon

19:16 Uhr, 18.01.2014

ok danke auf jeden Fall :-)

michaL aktiv_icon

11:25 Uhr, 19.01.2014

Hallo,

tut sich hier nichts mehr? Habe ich meine Zeit vertan?

Selbst wenn du die Lösung hast, würde sie andere sicher auch interessieren!

Mfg Michael

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