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Beweise (direkter, indirekter, Induktion)
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 8. Klassenstufe
Tags: Beispiel, Direkter Beweis, Indirekter Beweis, Verwendung, Vollständig Induktion
 
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Hallo!
Ich schreibe mein Spezial-Gebiet über mathematische Beweise und bräuchte noch einige Beispiele für indirekte Beweise und vielleicht noch direkte. Bisher habe ich direkter: Satz von Thales, Pythagoras, dass gerade ist wenn n² gerade ist. Für indirekten nur, dass Wurzel 2 irrational ist. Wenn ihr mir vielleicht einige Richtlinien oder Tipps geben könntet wann man welchen Beweis anwendet (sollte es solche geben) wäre ich auch dankbar. Kennt jemand vielleicht eine Behauptung, die sich durch alle drei Methoden beweisen ließe? Anmerkung: Da es sich um ein Spezialgebiet handelt können die Beweise zwar aufwendig oder lang sein (müssen sie natürlich nicht), sollten aber nichts enthalten, dass nicht innerhalb des Stoffgebiets des Gymnasiums ist. Beweise mit Modulus-Rechnungen oder anderen Methoden die nicht Teil des Stoffes sind darf ich (selbst wenn sie leicht sein sollten) nicht verwenden. Wenn mir jemand in irgendeiner Form weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Als indirekter Beweis fällt mir spontan der Beweis ein, dass jede Potenzmenge einer unendlichen Menge überabzählbar unendlich ist, hat aber den Nachteil, dass man in der schule die begriffe Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit nicht behandelt. Aber mir fällt noch etwas zur Zahlentheorie ein und zwar der einfache beweis, dass es unendlich viele primzahlen gibt: Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen es gibt eine größte Primzahl Nun werden alle primzahlen multipliziert Zu dieser Zahl addiert man die Zahl es ist offensichtlich ist nach der annahme nicht prim lässt sich in primfaktoren zerlegen. Diese zerlegung kann aber nicht die faktoren enthalten Die liste ist unvollständig Widerspruch es gibt unendlich viele primzahlen. Mir fällt noch der Beweis ein nach dem man beweist, dass vollständige Induktion funktioniert Man hat eine Menge von Aussagen Die Menge ist die Menge aller wahren Aussagen also und wahr ist die Menge aller falschen Aussagen also und falsch Man wisse jetzt sicher, dass die Aussage wahr ist. Nach dem Induktionssatz sind alle Aussagen wahr, wenn wahr ist unter der Voraussetzung, dass wahr ist. zu zeigen ist, dass dann die leere Menge ist Annahme: ist nicht die leere Menge und es ist aber nicht in C. Dann existiert ein kleinstes mit . Es gilt somit und damit . Und damit folgt Widerspruch ist die leere Menge Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion funktioniert. jetzt mal ein direkter Beweis ich nenn einfach mal so ein paar dinge, die sich recht einfach direkt beweisen lassen Kosinussatz, das produkt zweier ungerader zahlen ist ungerade, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, die summe zweier stetiger funktionen ist stetig, die Determinante einer Drehmatrix ist immer 1 Den indirekten Beweis benutzt man ausschließlich bei "entweder-oder-aussagen". Also . ist entweder rational oder irrational. Die vollständige Induktion benutzt man ausschließlich, wenn man eine abzählbare Menge an Aussagen hat, also quasi ne Liste an Aussagen, die man mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert. Für alles andere nutzt man das direkte Beweisverfahren. Es gibt aber noch mehr Beweisverfahren, die aber eher seltener austreten und sowas macht man in der schule eh nicht, es gibt ein Beweisverfahren, welches nur in der Graphentheorie Anwendung findet. Mir fällt spontan keine Aussage ein, die sich mit allen drei verfahren beweisen lässt |
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Dankeschön! Deine Vorschläge haben mir wirklich sehr geholfen. Ich werde das Ganze morgen abgeben und hoffe, dass ich jetzt genügend zusammengetragen habe. |
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