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Beweise zur Integrierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 08:26 Uhr, 24.10.2005  |
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Hi! Kaum hat das Semester begonnen, gibt es wieder einen frustrierenden �bungszettel. Wer kann mir helfen???? 1) Die Funktion f:[a,b]->R sei beschr�nkt und habe genau eine Unstetigkeitsstelle cE[a,b]. Beweisen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist. Anm.: Dass aus Stetigkeit integrierbarkeit folgt wei� ich und das muss auch nicht mehr bewiesen werden. Es ist auch logisch, dass die eine Unstetigkeitsstelle die Integrierbarkeit nicht kaputt macht, aber das wei� ich nicht, wie ich das beweisen kann... 2) Die Funktionen f1, f2, ... seien alle auf [0,1] integrierbar. Ferner gelte (siehe Formel) f�r alle n und x. Zeigen Sie: die Funktion Fn(x)=max{f1(x),...,fn(x)} ist auf [o,1] integrierbar. Anm.: Erscheint auch total sinnvoll, aber ich habe wieder keine Idee f�r den Beweis. Vielen Dank!!!! |
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anonymous 08:28 Uhr, 24.10.2005 |
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Die Formel sollte heißen: 0 <= (kleiner gleich) fn(x) <= 1 Das klappt bei mir nicht so richtig... |
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zu 1) Denk mal an Regelfunktionen. Eine Funktion f: [a, b] -> C (Menge der komplexen Zahlen) heißt Regelfkt. genau dann, wenn sie eine auf [a, b] normal konvergente Reihendarstlg. besitzt. Integrale werden ja über Grenzwerte von Treppenfunktionen (bzgl. einer Regelfkt. f) gebildet. Nun ist aber jede Regelfkt. fast überall stetig, d.h. sie hat maximal abzählbar viele Unstetigkeitsstellen (später wird man das auch mu-Null-Menge nennen...). Das sieht man leicht, denn Ein Intervall [a, b] kann als Vereinigung mehrerer (abzählbar vieler) kompakter Intervalle dargestellt werden und es genügt, die Aussage für ein kompaktes solches Intervall zu zeigen. Dazu kann man dann eine normal konvergente Reihendarstellung benutzen. Überlege Dir, dass es dann höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann (wann kann den f unstetig sein???), dann ist der Beweis fertig. Genau eine Unstetigkeitsstelle ist dann ja auch 'abzählbar viel'. Jedes Analysis-1-Buch sollte das aber auch genau ausformuliert haben:-) 2) Idee: Maximum als Grenzwert von Regelfunktionen auf kompakten Intervallen darstellen->abzählbar viele Unstetigkeitsstellen->stetig. hoffe, dass das hilft |
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anonymous 19:04 Uhr, 24.10.2005 |
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Wenn ich ganz ehrlich bin. hat mir das nicht viel geholfen (irgendwie bin ich wohl zu doof). Wir haben niemals über Regelfunktionen unter diesem Namen gesprochen. Ich weiß zwar was das ist, möchte das aber nicht unbedingt verwenden (eben weil wir es nicht wirklich gemacht haben). Zu 1: Ich habe mir folgendes überlegt: Hilft es irgendwie das Intervall rund um die Unstetigkeitsstelle ganz klein zumachen. Außerhalb ist das dann ja eh kein Problem und wenn ich so ein Intervall habe, dass immer kleiner als jedes Epsilon>0 ist .... ???? Das ist ja eigentlich ganz klar, dass es so sein muss. Danke für eure Hilfe |
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